네즈빗의 부등식

네즈빗의 부등식(Nesbitt's inequality)은 셰피로 부등식(Shapiro inequality)의 특수 케이스이다.

진술

Theorem — 임의의 양수 $a,b,c$에 대해, 다음 부등식이 성립한다.

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}$

일반화

정리 1. 양수 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$와 $S=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$에 대해, 다음 부등식이 성립한다.

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{S-a_{i}}}\geq {\frac {n}{n-1}}$