린델뢰프 공간

정의

위상공간 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 의 임의의 열린 덮개가 가산 부분덮개를 가지면, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 를 린델뢰프 공간(Lindelöf space)이라 한다.

예시

Example — 아래끝 위상이 주어진 실수선 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathbb{R}_l} 은 린델뢰프 공간이다. 그러나 조르겐프라이 평면 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathbb{R}_l \times \mathbb{R}_l} 은 린델뢰프 공간이 아니다.

Non-Example — 무어 평면은 린델뢰프 공간이 아니다.

Theorem — 임의의 제2가산공간은 린델뢰프 공간이다. 역은 성립하지 않는다.

성질

Theorem — 린델뢰프 공간 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 가 콤팩트공간일 필요충분조건은 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 가 가산콤팩트공간인 것이다.

Proof

콤팩트공간이 가산콤팩트공간임은 자명하므로, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 가 가산콤팩트공간이라 가정하자. $X$의 열린 덮개 ${\mathcal {O}}$는 $X$가 린델뢰프 공간이므로 가산 부분덮개 ${\mathcal {O}}'$를 가진다. 그러면 $X$가 가산콤팩트공간이므로 ${\mathcal {O}}'$는 유한 부분덮개 ${\mathcal {O}}''$를 가진다. ${\mathcal {O}}''$는 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathcal{O}} 의 유한 부분덮개이므로, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 는 콤팩트공간이다.

Theorem — 린델뢰프 성질은 위상적 성질이다.

Proof

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f:X\to Y} 를 린델뢰프 공간 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 가 정의역이고 위상공간 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle Y} 가 공역인 위상동형사상이라 하자. 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle Y} 의 열린 덮개 하나를 골라 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathcal{O}=\{O_\alpha\}_{\alpha\in I}} 라 하자. 그러면 임의의 $\alpha \in I$에 대해 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f} 가 연속함수이므로 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f^{-1}(O_\alpha)} 는 열린집합이고, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{f^{-1}(O_\alpha)\}_{\alpha\in I}} 는 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 의 열린덮개이다. 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 가 린델뢰프 공간이므로, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{f^{-1}(O_\alpha)\}_{\alpha\in I}} 는 부분덮개 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{f^{-1}(O_i)\}_{i\in \mathbb{N}}} 를 가진다. 그러면

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \begin{align} \bigcup_{i=1}^{\infty} O_i&=\bigcup_{i=1}^{\infty} f(f^{-1}(O_i))&(\because\text{$f$ is surjective)}\\ &=f\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}(f^{-1}(O_i))\right)\\ &=f(X)\\ &=Y \end{align}}

이므로 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{O_i\}_{i\in\mathbb{N}}} 은 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathcal{O}} 의 가산 부분덮개이다. 따라서 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle Y} 는 린델뢰프 공간이다.

Theorem — 린델뢰프 성질은 계승적 성질이 아니지만, 린델뢰프 공간의 닫힌 부분공간은 린델뢰프 공간이다.

Theorem — 린델뢰프 공간의 몫공간은 린델뢰프 공간이다.

Proof

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathcal{O}=\{O_\alpha\}_{\alpha\in I}} 를 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 의 몫공간 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X/\sim} 의 열린 덮개라 하자. 그러면 몫사상 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle q:X\to X/\sim} 가 연속함수이므로, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle q^{-1}(O_\alpha)} 는 열린집합이고 따라서 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{q^{-1}(O_\alpha)\}_{\alpha\in I}} 는 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 의 열린 덮개이다. 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 가 린델뢰프 공간이므로, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{q^{-1}(O_\alpha)\}_{\alpha\in I}} 는 가산 부분덮개 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{q^{-1}(O_i)\}_{i\in \mathbb{N}}} 을 가진다. 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle q} 가 위로의 함수이므로,

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \begin{align} X/\sim &= q(X)\\ &=q\left(\bigcup_{i\in \mathbb{N}} q^{-1}(O_i)\right)\\ &=\bigcup_{i\in \mathbb{N}} q(q^{-1}(O_i))\\ &=\bigcup_{i\in \mathbb{N}} O_i \end{align}}

이다. 그러므로 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{O_i\}_{i\in \mathbb{N}}} 는 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathcal{O}} 의 가산 부분덮개이고 따라서 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X/\sim} 은 린델뢰프 공간이다.

Theorem — 정칙 린델뢰프 공간은 정규공간이다.

Theorem — 린델뢰프 공간의 비가산 부분집합은 극한점을 가진다.

Proof

귀류법을 이용해 증명한다. 린델뢰프 공간 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X} 의 비가산 부분집합 $A$가 극한점을 가지지 않는다고 가정하자. 그러면 임의의 $x\in X$에 대해, $x$를 포함하고 $x$가 아닌 $A$의 원소를 포함하지 않는 열린집합 $O_{x}$가 존재한다. 그러면 $\{O_{x}:x\in X\}$는 $X$의 열린 덮개인데, $X$가 린델뢰프 공간이므로 $\{O_{x}:x\in X\}$의 가산 부분덮개 $\{O_{x_{i}}:x_{i}\in X,i\in \mathbb {N} \}$가 존재한다. $\{O_{x_{i}}\cap A:x_{i}\in X,i\in \mathbb {N} \}$는 $A$의 열린덮개인데, $|O_{x_{i}}\cap A|$가 유한이므로 $|A|$도 기껏해야 가산이다. 이는 $A$가 비가산집합이라는 가정과 모순이다. 따라서 $A$는 극한점을 가진다.