정의
두 <a href="/dok/정수">정수</a> <img title="m,n" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?m,n">에 대해
<img title="n=dm" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?n=dm">
인 정수 <img title="d" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d">가 존재하면 <img title="m" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?m">을 <img title="n" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?n">의 약수(divisor), 또는 인수(factor)라고 하고, <img title="m \mid n" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?m&space;\mid&space;n">으로 표기한다. <img title="m" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?m">이 <img title="n" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?n">의 약수가 아니면 <img title="m \nmid n" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?m&space;\nmid&space;n">으로 표기한다.
예시
- <img title="3 \mid 21" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?3&space;\mid&space;21">, <img title="7 \mid 21" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?7&space;\mid&space;21">
- <img title="23 \mid 2047" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?23&space;\mid&space;2047">
- <img title="9338711\mid 2^{2017}-1" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?9338711\mid&space;2^{2017}-1"><button data-placement="auto bottom" data-content="http://www.mersenne.org/report_factors/?exp_lo=2017&exp_hi=2017&exp_date=&fac_len=&dispdate=1&B1=Get+Factors" data-container=".wiki-fnote">1</button>
- <img title="6\nmid 43" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?6\nmid&space;43">
- 정수 <img title="n" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?n">에 대해 <img title="2 \mid n" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?2&space;\mid&space;n">이면 <img title="n" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?n">은 <a href="/dok/짝수">짝수</a>, <img title="2\nmid n" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?2\nmid&space;n">이면 <img title="n" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?n">은 <a href="/dok/홀수">홀수</a>이다.
성질
- <img title="a \mid b" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a&space;\mid&space;b">이고 <img title="b\mid c" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?b\mid&space;c">이면 <img title="a\mid c" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a\mid&space;c">이다. (<a href="/dok/추이적%20관계">추이적 관계</a>)
- 증명: <img title="a \mid b" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a&space;\mid&space;b">이고 <img title="b\mid c" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?b\mid&space;c">이면 <img title="b=d_1 a" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?b=d_1&space;a">이고 <img title="c=d_2 b" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?c=d_2&space;b">인 정수 <img title="d_1,d_2" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d_1,d_2">가 존재한다. 그러면 정수 <a href="/dok/곱셈">곱셈</a>의 <a href="/dok/결합법칙">결합법칙</a>에 의해 <img title="c= d_2 b = d_2 (d_1 a) = (d_2 d_1) a" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?c=&space;d_2&space;b&space;=&space;d_2&space;(d_1&space;a)&space;=&space;(d_2&space;d_1)&space;a">이므로 <img title="a\mid c" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a\mid&space;c">이다.
- <img title="a \mid b" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a&space;\mid&space;b">이고 <img title="b\mid a" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?b\mid&space;a">이면 <img title="a=\pm b" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=\pm&space;b">이다.
- 증명: <img title="a=0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=0">이면 <img title="b=0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?b=0">이고, <img title="b=0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?b=0">이면 <img title="a=0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=0">이므로 <img title="ab\ne 0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?ab\ne&space;0">이라 하자. <img title="a \mid b" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a&space;\mid&space;b">이고 <img title="b\mid a" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?b\mid&space;a">이면 <img title="b=d_1 a" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?b=d_1&space;a">이고 <img title="a=d_2 b" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=d_2&space;b">인 정수 <img title="d_1,d_2" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d_1,d_2">가 존재한다. 그러면 <img title="a= d_2 b = d_2 (d_1 a) = (d_2 d_1)a" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=&space;d_2&space;b&space;=&space;d_2&space;(d_1&space;a)&space;=&space;(d_2&space;d_1)a">이므로 <img title="d_2 d_1 = 1" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d_2&space;d_1&space;=&space;1">이다. 그러면 <img title="d_2=1" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d_2=1">이거나 <img title="d_2=-1" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d_2=-1">이므로 <img title="a=b" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=b">이거나 <img title="a=-b" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a=-b">이다.
- <img title="a,b,c,m,n" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a,b,c,m,n">이 정수라 하자. <img title="a\mid b" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a\mid&space;b">이고 <img title="a\mid c" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a\mid&space;c">이면 <img title="a\mid (mb+nc)" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a\mid&space;(mb+nc)">이다.
- 증명: <img title="a\mid b" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a\mid&space;b">이고 <img title="a\mid c" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a\mid&space;c">이면 <img title="b=d_1 a" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?b=d_1&space;a">이고 <img title="c=d_2 a" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?c=d_2&space;a">인 정수 <img title="d_1,d_2" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d_1,d_2">가 존재한다. 그러면 <img title="mb+nc=m(d_1 a)+n(d_2 a)=(md_1 + nd_2)a" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?mb+nc=m(d_1&space;a)+n(d_2&space;a)=(md_1&space;+&space;nd_2)a">이므로 <img title="a\mid (mb+nc)" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a\mid&space;(mb+nc)">이다.
- 일반화: 임의의 <img title="i\in \{1,2,\dots,n\}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?i\in&space;\{1,2,\dots,n\}">에 대해 <img title="a,b_i,m_i" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a,b_i,m_i">가 정수이고 <img title="a\mid b_i" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a\mid&space;b_i">이면 <img title="a\mid \sum_{i=1}^n m_i b_i" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a\mid&space;\sum_{i=1}^n&space;m_i&space;b_i">이다.