가우시안 상관관계 부등식 (GCI)

개요

중심이 같은 한 점인 두 개의 볼록 다각형이 있다고 하자. 중심에 대고 던진 다트는 중심을 기준으로 가우스 분포를 이루며 떨어질 것이다. 가우시안 상관관계 부등식 (GCI)는 이 다트가 두 개의 볼록 다각형에 한꺼번에 맞을 확률이 두 개의 볼록 다각형에 각각 맞을 확률을 곱한 것보다 크거나 같다고 하는 것이다. 즉, 두 개의 다각형이 겹치기 때문에, 하나를 맞추는 것이 다른 하나를 맞출 확률을 높인다는 것이다.

$n$차원 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 가측 부분집합 $A$에서 표준 $n$차원 가우스 측도는 다음과 같다.

$\mu _{n}(A)=(2\pi )^{-n/2}\int _{A}\exp(-{\frac {1}{2}}x^{2})\,dx$

가우시안 상관관계 부등식 (GCI)는 모든 볼록 대칭 집합 $A,B$에 대해서 다음이 성립된다고 한다.

$\mu _{n}(A\cap B)\geq \mu _{n}(A)\mu _{n}(B)$

추측의 제안 및 증명

가우시안 상관관계 부등식 (Gaussian Correlation Inequality)은 1955년 Dunnett과 Sobel에 의해 처음 추측이 제안되었고, 이것을 1972년 Das Gupta가 좀 더 다듬고 일반화하여 제안하였다. 그리고 GCI는 2014년 토마스 로이엔에 의하여 증명되었다.