거리공간

정의

정의 1. 집합 $X$가 주어지고, 함수 $d:X\times X\to \mathbb {R}$이 임의의 $x,y,z\in X$에 대해

$d(x,y)\geq 0$

(1)

$d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y$

(2)

$d(x,y)=d(y,x)$

(3)

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

(4)

를 만족하면, $d$를 $X$의 거리(metric) 또는 거리함수(distance function)라고 하며 $d(x,y)$를 $x$에서 $y$로의 거리(distance)라고 한다. 거리함수 $d$가 주어진 집합 $X$를 거리공간(metric space)라고 하고 $(X,d)$로 쓴다.

정리 2. 함수 $d:X\times X\to \mathbb {R}$이 임의의 $x,y,z\in X$에 대해 조건 (2), (3), (4)를 만족한다고 가정하자. 그러면 $d$는 거리함수이다.

Proof

임의의 $x,y\in X$에 대해,

${\begin{aligned}0&={\frac {1}{2}}d(x,x)\\&\leq {\frac {1}{2}}(d(x,y)+d(y,x))\\&={\frac {1}{2}}(d(x,y)+d(x,y))\\&={\frac {1}{2}}\cdot 2d(x,y)\\&=d(x,y)\end{aligned}}$

이므로 원하는 결론을 얻는다.

예 3. $d$가 거리함수가 되기 위한 조건 중 1이 아니라 다른 조건이 빠지면 $d$는 거리함수가 아닐 수 있다. 세 점 집합 $X=\{a,b,c\}$가 주어졌다고 하자.

• 함수 $d_{2}:X\times X\to \mathbb {R}$을 임의의 $x,y\in X$에 대해 $d_{2}(x,y)=0$이 되도록 정의하면, 조건 1, 3, 4는 만족하지만 조건 2를 만족하지 않는다.
• 함수 $d_{3}:X\times X\to \mathbb {R}$을 $d_{3}(a,a)=d_{3}(b,b)=d_{3}(c,c)=0$, $d_{3}(a,b)=d_{3}(b,a)=d_{3}(a,c)=d_{3}(c,a)=d_{3}(b,c)=1$, $d_{3}(c,b)={\frac {5}{4}}$이 되도록 정의하면 조건 1, 2, 4는 만족하지만 조건 3을 만족하지 않는다.
• 함수 $d_{4}:X\times X\to \mathbb {R}$을 $d_{4}(a,a)=d_{4}(b,b)=d_{4}(c,c)=0$, $d_{4}(a,b)=d_{4}(b,a)=d_{4}(a,c)=d_{4}(c,a)=1$, $d_{4}(b,c)=d_{4}(c,b)=3$이 되도록 정의하면 조건 1, 2, 3은 만족하지만 $d_{4}(b,c)>d_{4}(b,a)+d_{4}(a,c)$이므로 조건 4를 만족하지 않는다.

정의 4. 함수 $d:X\times X\to \mathbb {R}$가 조건 (1), (3), (4)를 만족하고 조건 (2)의 일부인 $x=y\Longrightarrow d(x,y)=0$을 만족하면 $d$를 유사거리공간(psuedometric space)이라고 한다.

정리 5. 임의의 거리공간은 유사거리공간이다.

예시

예 6. 다음은 거리공간의 예시이다.

• $\mathbb {R}$은 $d(x,y)=|x-y|$가 주어진 거리공간이다.
• $\mathbb {R} ^{n}$은 $d(x,y)=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$가 주어진 거리공간이다.
• 임의의 노름공간 $(V,\|\cdot \|)$에 대해 $d(x,y)=\|x-y\|$로 두면 $(V,d)$는 거리공간이다.
• 임의의 집합 $X$에 대해 $d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y\\1&{\text{if }}x\neq y\end{cases}}$로 두면 $(X,d)$는 거리공간이고, 이를 이산거리공간이라고 한다.
• $[a,b]$에서 정의된 모든 연속실함수의 집합을 ${\mathcal {C}}[a,b]$라 하자. 이때 $\rho (f,g)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$, $\rho '(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|:x\in [a,b]\}$는 모두 ${\mathcal {C}}[a,b]$의 거리함수이다.

열린집합과 닫힌집합

정의 7. 거리공간 $(X,d)$에서 중심이 $a\in X$이고 반지름이 $r>0$인 열린 공 $B_{d}(a,r)$을 다음과 같이 정의하자.

$B_{d}(a,r)=\{x\in X:d(a,x)<r\}$

$X$의 부분집합 $O$가 열린 공의 합집합이면 $O$를 $X$의 열린집합이라고 한다. 이렇게 정의된 모든 열린집합의 모임을 $d$가 생성한 $X$의 위상(topology for $X$ generated by $d$)이라고 한다.

정의 8. $X$의 부분집합 $C$에 대해 $X\setminus C$가 열린집합이면 $C$를 닫힌집합이라고 한다.

정리 9. 거리공간 $X$에서,

• $\emptyset ,X$는 열린집합이다.
• 열린집합의 합집합은 열린집합이다.
• 가산 개 열린집합의 교집합은 열린집합이다.

정리 9는 위상공간의 정의에 이용된다.

두 집합 사이의 거리

정의 10. 위상공간 $X$의 한 점 $p$와 부분집합 $A$에 대해,

$d(p,A)=\inf\{d(p,a):a\in A\}$

를 $p$에서 $A$까지의 거리라고 한다.

정의 11. 위상공간 $X$의 두 부분집합 $A,B$에 대해,

$d(A,B)=\max \left\{\sup _{a\in A}d(a,B),\sup _{b\in B}d(b,A)\right\}$

를 $A$와 $B$ 사이의 하우스도르프 거리라고 한다.

수열의 극한

정의 12. 거리공간 $(X,d)$에서 정의된 수열 $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$과 $x\in X$이 주어졌을 때, 임의의 $\epsilon >0$에 대해 양의 정수 $N$이 존재해 임의의 양의 정수 $n>N$에 대해 $d(x_{n},x)<\epsilon$이면 $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$이 $x$로 수렴한다고 한다.

정리 13. 거리공간에서 정의된 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다.

Proof

거리공간의 수열 $\{x_{n}\}$이 $x,y$로 수렴한다고 가정하자. 그러면 임의의 $\epsilon >0$에 대해 양의 정수 $N$이 존재해 임의의 $n>N$에 대해 $d(x_{n},x)<{\frac {\epsilon }{2}}$이고 $d(x_{n},y)<{\frac {\epsilon }{2}}$이다. 그러면

$d(x,y)\leq d(x,x_{n})+d(x_{n},y)=\epsilon$

인데, $\epsilon$이 임의의 양수이므로 $d(x,y)=0$이고, 따라서 $x=y$이다.

정의 14. 거리공간 $(X,d)$에서 정의된 수열 $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$에 대해, 임의의 $\epsilon >0$에 대해 양의 정수 $N$이 존재해 임의의 양의 정수 $m,n>N$에 대해 $d(x_{m},x_{n})<\epsilon$이면 $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$을 코시 수열이라고 한다.

임의의 수렴하는 수열은 코시 수열이지만, 코시 수열이 반드시 수렴하지는 않는다. 임의의 코시 수열이 수렴하는 거리공간을 완비거리공간이라 한다. $\mathbb {R}$은 대표적인 완비거리공간이다.

연속함수

정의 15. 거리공간 $(X,d),(Y,d')$과 함수 $f:(X,d)\to (Y,d')$가 주어졌다고 하자. 임의의 $\epsilon >0$에 대해 $\delta >0$이 존재해, $x\in X$이고 $d(x,a)<\delta$이면 $d'(f(x),f(a))<\epsilon$일 때, $f$가 $a$에서 연속이라고 한다. $f$가 $X$의 임의의 점에서 연속이면, $f$를 연속함수라고 한다.

정리 16. 거리공간 $(X,d),(Y,d')$와 함수 $f:(X,d)\to (Y,d')$에 대해, 다음 명제는 동등하다.

• $f$는 연속함수이다.
• $a\in X$로 수렴하는 임의의 수열 $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$에 대해 $\{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty }$는 $f(a)$로 수렴한다.
• $Y$의 임의의 열린집합 $O$에 대해 $f^{-1}(O)$는 $X$의 열린집합이다.
• $Y$의 임의의 닫힌집합 $C$에 대해 $f^{-1}(C)$는 $X$의 닫힌집합이다.}}

정의 17. 거리공간 $(X,d),(Y,d')$과 함수 $f:(X,d)\to (Y,d')$가 주어졌다고 하자. 임의의 $\epsilon >0$에 대해 $\delta >0$이 존재해 $d(x,y)<\delta$인 임의의 $x,y\in X$에 대해 $d'(f(x),f(y))<\epsilon$이면 $f$가 고른연속(uniformly continuous)이라고 한다.

거리공간의 곱공간

유한 개 거리공간 $(X_{1},d_{1}),\dots ,(X_{n},d_{n})$에 대해, $X=\prod _{i=1}^{n}X_{i}$으로 정의하고 $d:X\times X\to \mathbb {R}$를

$d(x,y)=\left(\sum _{i=1}^{n}(d_{i}(x_{i},y_{i}))^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

로 정의하면 $(X,d)$는 거리공간이다. 이때 $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$, $y=(y_{1},\dots ,y_{n})$이다.

거리공간열 $\{(X_{n},d_{n})\}_{n=1}^{\infty }$에 대해 $X=\prod _{n=1}^{\infty }X_{n}$으로 정의하고 $d:X\times X\to \mathbb {R}$를

$d(x,y)=\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {d_{n}(x_{n},y_{n})}{n}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

로 정의하면 $(X,d)$는 거리공간이다.

위상적 성질

정리 18. 임의의 거리공간은 제1가산공간이다.

정리 19. 임의의 분해가능 거리공간은 제2가산공간이다.

거리화 가능 공간

정의 20. 위상공간 $(X,{\mathcal {T}})$에 대해, $X$에서 정의된 거리 $d$가 생성한 위상이 ${\mathcal {T}}$와 같으면 $X$를 거리화 가능 공간(metrizable space)이라고 한다. 노름공간과 가산 개 거리공간의 곱은 거리화 가능 공간이다.

우리손 거리화 정리(Urysohn Metrization Theorem) — 임의의 제2가산 정칙공간은 거리화 가능 공간이다.

나가타-스미르노프-빙 거리화 정리(Nagata-Smirnov-Bing Metrization Theorem) — 위상공간이 거리화 가능 공간일 필요충분조건은 정칙공간이고 σ-국소유한 기저를 가지는 것이다.