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단순함수
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== 정의 == [[가측집합]] <math>E\subset \mathbb{R}</math>에서 정의된 [[함수]] <math>f:E\to\mathbb{R}</math>에 대해, [[서로소]]이고 <math>\bigcup_{i=1}^n E_i=E</math>인 가측집합 <math>E_1,\dots,E_n</math>과 [[실수]] <math>a_1,\dots,a_n</math>이 존재해 <math>f(x)=a_i,\quad x\in E_i,\;1\le i \le n</math> 이면 <math>f</math>를 '''단순함수'''(simple function)라고 한다. 단순함수를 [[지시함수]]를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다. <math>f(x)=\sum_{i=1}^n a_i \mathbf{1}_{E_i}(x)</math> == 예시 == {{math theorem|name=Example|다음은 단순함수의 예시이다. * 임의의 [[계단함수]]는 단순함수이다. * 가측집합에서 정의된 임의의 [[지시함수]]는 단순함수이다.}} == 성질 == {{math theorem|두 단순함수의 합과 곱은 단순함수이다.}} == 단순함수의 적분 == 단순함수의 표준표현(canonical representation)은 <math>\varphi=\sum_{i=1}^n a_i \mathbf{1}_{A_i}</math> 와 같이 나타난다. 이때 <math>a_1,\dots,a_n</math>은 [[영]]이 아닌 서로 다른 실수이고, <math>A_i=\{x:\phi(x)=a_i\}</math>이다. 이때 <math>\varphi</math>의 적분을 <math>\int\varphi=\sum_{i=1}^n a_i m(A_i)</math> 으로 정의하자. 그러면 <math>E_1,\dots,E_n</math>이 <math>m(E_i) < \infty</math>이고 서로소인 가측집합일 때, <math>\varphi=\sum_{i=1}^n a_i \mathbf{1}_{E_i}</math>이면 <math>\int\varphi=\sum_{i=1}^n a_i m(E_i)</math> 을 얻는다. 가측집합 <math>E</math>에 대해 <math>m(E)<\infty</math>이고 <math>f:E\to\mathbb{R}</math>이 [[유계]]인 함수일 때, <math>\inf_{\psi \ge f} \int_E \psi</math>를 상르베그 적분(upper Lebesgue integral), <math>\sup_{\varphi \le f}\int_E \varphi</math>를 하르베그 적분(lower Lebesgue integral)이라고 한다. <math>f</math>의 상르베그 적분과 하르베그 적분이 같으면 '''[[르베그 적분]]가능'''(Lebesgue integrable)하다고 한다. [[분류:종류/함수]] [[분류:분야/수학]]
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틀:Math theorem
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