단순함수

정의

가측집합 $E\subset \mathbb {R}$에서 정의된 함수 $f:E\to \mathbb {R}$에 대해, 서로소이고 $\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}=E$인 가측집합 $E_{1},\dots ,E_{n}$과 실수 $a_{1},\dots ,a_{n}$이 존재해

$f(x)=a_{i},\quad x\in E_{i},\;1\leq i\leq n$

이면 $f$를 단순함수(simple function)라고 한다. 단순함수를 지시함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {1} _{E_{i}}(x)$

예시

Example — 다음은 단순함수의 예시이다.

• 임의의 계단함수는 단순함수이다.
• 가측집합에서 정의된 임의의 지시함수는 단순함수이다.

성질

Theorem — 두 단순함수의 합과 곱은 단순함수이다.

단순함수의 적분

단순함수의 표준표현(canonical representation)은

$\varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {1} _{A_{i}}$

와 같이 나타난다. 이때 $a_{1},\dots ,a_{n}$은 영이 아닌 서로 다른 실수이고, $A_{i}=\{x:\phi (x)=a_{i}\}$이다. 이때 $\varphi$의 적분을

$\int \varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}m(A_{i})$

으로 정의하자. 그러면 $E_{1},\dots ,E_{n}$이 $m(E_{i})<\infty$이고 서로소인 가측집합일 때, $\varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {1} _{E_{i}}$이면

$\int \varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}m(E_{i})$

을 얻는다.

가측집합 $E$에 대해 $m(E)<\infty$이고 $f:E\to \mathbb {R}$이 유계인 함수일 때, $\inf _{\psi \geq f}\int _{E}\psi$를 상르베그 적분(upper Lebesgue integral), $\sup _{\varphi \leq f}\int _{E}\varphi$를 하르베그 적분(lower Lebesgue integral)이라고 한다. $f$의 상르베그 적분과 하르베그 적분이 같으면 르베그 적분가능(Lebesgue integrable)하다고 한다.