View source for 디리클레 함수

[[함수]] <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>을 다음과 같이 정의하자.

<math>f(x)=\begin{cases}
1,&\text{if }x\in\mathbb{Q}\\
0,&\text{if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}</math>

그러면 <math>x</math>가 [[유리수]]일 때 <math>f(x)=1</math>이고, <math>x</math>가 [[무리수]]일 때 <math>f(x)=0</math>이다. 이때 <math>f</math>를 '''디리클레 함수'''(Dirichlet function)라고 한다. 즉, 디리클레 함수는 <math>\mathbb{R}</math>에서 정의된 [[지시함수]] <math>\mathbf{1}_\mathbb{Q}</math>이다. 디리클레 함수를 다음과 같이 정의하기도 한다.

<math>f(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)</math>

== 연속성 ==
{{math theorem|디리클레 함수는 모든 점에서 [[불연속]]이다.}}

== 적분가능성 ==
{{math theorem|디리클레 함수는 구간 <math>[a,b]</math>에서 [[리만 적분가능]]하지 않다.}}
{{math theorem|디리클레 함수는 구간 <math>[a,b]</math>에서 [[르베그 적분가능]]하다.}}

== 같이 보기 ==
* [[토메 함수]]

{{분류|성격/함수, 분야/수학}}