둘러보기 메뉴
검색
바뀐글
임의글
개인 도구
가입하기
로그인
도움말
도움말
질문게시판
자주 묻는 질문
커뮤니티
실시간 채팅방
가입인사게시판
자유게시판
뉴스게시판
제재안게시판
최근 토론
페미위키
공지사항
개선 요청
바뀐글
임의글
파일 올리기
다면 분류 목록
특수 문서 목록
라플라스 방정식 문서 원본 보기
이름공간
문서
토론
주시
도구
여기를 가리키는 문서
가리키는 글의 최근 바뀜
문서 정보
위키베이스 항목
행위
보기
읽기
원본 보기
역사 보기
←
라플라스 방정식
문서 편집 권한이 없습니다. 다음 이유를 확인해주세요.
요청한 명령은 다음 중 하나의 권한을 가진 사용자에게 제한됩니다:
사용자
,
Seeders
.
문서를 고치려면 이메일 인증 절차가 필요합니다.
사용자 환경 설정
에서 이메일 주소를 입력하고 이메일 주소 인증을 해주시기 바랍니다.
문서의 원본을 보거나 복사할 수 있습니다.
[[다변수함수]] <math>\psi=\psi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math>에 대한 [[편미분방정식]] <math>\triangledown^2 \psi=0</math> 를 '''라플라스 방정식'''(Laplace equation)이라 하고, 라플라스 방정식을 만족하는 함수를 '''[[조화함수]]'''(Harmonic function)라고 한다. == 공식 == === 3차원 좌표계<ref>Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion (2011). 강석태 옮김. 『일반역학』(제5판). Cengage Learning. pp. 678-681. ISBN 9788962183009</ref> === * 직각좌표계: <math>\psi=\psi(x,y,z)</math> <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}=0</math> * 원통좌표계: <math>\psi=\psi(r,\phi,z)</math> <math>\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial \psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=0</math> * 구면좌표계: <math>\psi=\psi(r,\theta,\phi)</math> <math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2}=0</math> === 2차원 좌표계 === * 직각좌표계: <math>\psi=\psi(x,y)</math> <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0</math> * 극좌표계: <math>\psi=\psi(r,\theta)</math> <math>\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \theta^2}=0</math> == 방정식의 일반해 == === 2차원 직각좌표계 === 라플라스 방정식 <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0</math> 을 변수분리법으로 풀자. 함수 <math>X(x), Y(y)</math>에 대해 <math>\psi(x,y)=X(x)Y(y)</math> 라고 가정하자. 그러면 라플라스 방정식은 <math>X''Y+Y''X=0</math> 로 주어진다. 양변을 <math>XY</math>로 나누면 <math>\frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=0</math> 를 얻는다. 그러면 <math>\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=k</math> 인 <math>k\in\mathbb{R}</math>가 존재한다. 따라서 다음 이계미분방정식을 얻는다. <math>X''=kX,\quad Y''=-kY</math> * <math>k>0</math>이면, <math>k=\lambda^2</math>인 <math>\lambda\in\mathbb{R}</math>가 존재한다. 따라서 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다. (단, <math>A,B,C,D</math>는 상수) *: <math>X(x)=A\cosh\lambda x+B\sinh\lambda x,\quad Y(y)=C\cos\lambda y+D\sin\lambda y</math> * <math>k=0</math>이면 <math>X''=0,Y''=0</math>이므로 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다. *: <math>X(x)=A+Bx,\quad Y(y)=C+Dy</math> * <math>k<0</math>이면 <math>k>0</math>일 때와 비슷한 방법으로 미분방정식의 해를 구할 수 있다. == 경계값 문제 == <math>0< x< a,0< x< b</math>에서 경계값 문제 <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0</math> <math>u(x,0)=0,u(x,b)=0,u(0,y)=0,u(a,y)=f(y)</math> 를 만족하는 영이 아닌 함수 <math>u(x,y)=X(x)Y(y)</math>를 구하자. <math>k<0</math>일 경우, <math>X(x)=A\cos\lambda x+B\sin\lambda x,\quad Y(y)=C\cosh\lambda y+D\sinh\lambda y</math> 이다. <math>u(x,0)=C(A\cos\lambda x+B\sin\lambda x)=0</math> 인데 <math>A=B=0</math>이면 <math>X(x)=0</math>이므로 <math>C=0</math>이다. <math>u(0,y)=AD\sinh\lambda y=0</math> 인데 <math>D=0</math>이면 <math>Y(y)=0</math>이므로 <math>A=0</math>이다. <math>u(x,b)=BD\sin\lambda x\sinh \lambda b=0</math> 인데 <math>B=0</math> 또는 <math>D=0</math>이다. 어느 경우든 <math>X(x)=0</math> 또는 <math>Y(y)=0</math>이므로 <math>k<0</math>일 수 없다. <math>k=0</math>일 경우, <math>X(x)=A+Bx,\quad Y(y)=C+Dy</math> 이다. <math>u(x,0)=C(A+Bx)=0</math> 인데 <math>A=B=0</math>이면 <math>X(x)=0</math>이므로 <math>C=0</math>이다. <math>u(0,y)=ADy=0</math> 인데 <math>D=0</math>이면 <math>Y(x)=0</math>이므로 <math>A=0</math>이다. <math>u(x,b)=BDxb=0</math> 인데 <math>B=0</math> 또는 <math>D=0</math>이다. 어느 경우라도 <math>X(x)=0</math> 또는 <math>Y(y)=0</math>이므로 <math>k=0</math>일 수 없다. <math>k>0</math>일 경우, <math>X(x)=A\cosh\lambda x+B\sinh\lambda x,\quad Y(y)=C\cos\lambda y+D\sin\lambda y</math> 이다. <math>u(x,0)=C(A\cosh\lambda x+B\sinh\lambda x)=0</math> 인데 <math>A=B=0</math>이면 <math>X(x)=0</math>이므로 <math>C=0</math>이다. <math>u(0,y)=AD\sin\lambda y=0</math> 인데, <math>D=0</math>이면 <math>Y(y)=0</math>이므로 <math>A=0</math>이다. <math>u(x,b)=BD\sinh\lambda x\sin\lambda b=0</math> 이므로 <math>B=0</math> 또는 <math>D=0</math> 또는 <math>\sin\lambda b=0</math>이다. 따라서 자연수 ''n''에 대해 <math>\lambda =\frac{n\pi}{b}</math>이다. 따라서 <math>u_n(x,y)=\sinh\frac{n\pi x}{b}\sin\frac{n\pi y}{b}</math> 는 경계값 문제의 해이다. 이제 <math>u(x,y)</math>를 상수 <math>c_1,c_2,\dots</math>에 대해 <math>u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n \sinh\frac{n\pi x}{b}\sin\frac{n\pi y}{b}</math> 로 나타낼 수 있다. 그러면 <math>u(a,y)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n \sinh\frac{n\pi a}{b}\sin\frac{n\pi y}{b}=f(y)</math> 인데, <math>f(y)\sin\frac{n\pi y}{b}=\sin\frac{n\pi y}{b}\sum_{k=1}^{\infty}c_k \sinh\frac{k\pi a}{b}\sin\frac{k\pi y}{b}</math> 이고 양변을 0에서 b까지 정적분하면 <math>c_n=\frac{2}{b\sinh\frac{n\pi a}{b}}\int_0^b f(y)\sin \frac{n\pi y}{b}dy</math> 를 얻는다.<ref>Braun, M. (1975). Differential equations and their applications: An introduction to applied mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387978941</ref> == 등장 시점 == === 열확산방정식 === 열 ''T''에 대해, 시간에 따른 [[열방정식]]은 <math>\frac{\partial T}{\partial t}=D\triangledown^2 T</math> 으로 주어진다. 만약 [[정상 상태]]에 있을 경우, <math>\frac{\partial T}{\partial t}=0</math>이므로 <math>\triangledown^2 T=0</math> 이 되어 라플라스 방정식을 얻는다.<ref>Stephen J. Blundell · Katherine M. Blundell (2010). ''Concepts in Thermal Physics'' (2nd ed.) Oxford University Press. ISBN 9780199562107</ref> == 같이 보기 == * [[푸아송 방정식]] == 참고문헌 == <references /> [[분류:분야/수학]]
라플라스 방정식
문서로 돌아갑니다.
다른 언어