라플라스 방정식

다변수함수 $\psi =\psi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$에 대한 편미분방정식

$\triangledown ^{2}\psi =0$

를 라플라스 방정식(Laplace equation)이라 하고, 라플라스 방정식을 만족하는 함수를 조화함수(Harmonic function)라고 한다.

공식

3차원 좌표계

• 직각좌표계: $\psi =\psi (x,y,z)$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=0$

• 원통좌표계: $\psi =\psi (r,\phi ,z)$

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=0$

• 구면좌표계: $\psi =\psi (r,\theta ,\phi )$

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}=0$

2차원 좌표계

• 직각좌표계: $\psi =\psi (x,y)$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0$

• 극좌표계: $\psi =\psi (r,\theta )$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}=0$

방정식의 일반해

2차원 직각좌표계

라플라스 방정식

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0$

을 변수분리법으로 풀자. 함수 $X(x),Y(y)$에 대해

$\psi (x,y)=X(x)Y(y)$

라고 가정하자. 그러면 라플라스 방정식은

$X''Y+Y''X=0$

로 주어진다. 양변을 $XY$로 나누면

${\frac {X''}{X}}+{\frac {Y''}{Y}}=0$

를 얻는다. 그러면

${\frac {X''}{X}}=-{\frac {Y''}{Y}}=k$

인 $k\in \mathbb {R}$가 존재한다. 따라서 다음 이계미분방정식을 얻는다.

$X''=kX,\quad Y''=-kY$

• $k>0$이면, $k=\lambda ^{2}$인 $\lambda \in \mathbb {R}$가 존재한다. 따라서 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다. (단, $A,B,C,D$는 상수)

  $X(x)=A\cosh \lambda x+B\sinh \lambda x,\quad Y(y)=C\cos \lambda y+D\sin \lambda y$

• $k=0$이면 $X''=0,Y''=0$이므로 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.

  $X(x)=A+Bx,\quad Y(y)=C+Dy$

• $k<0$이면 $k>0$일 때와 비슷한 방법으로 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

경계값 문제

$0<x<a,0<x<b$에서 경계값 문제

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0$

$u(x,0)=0,u(x,b)=0,u(0,y)=0,u(a,y)=f(y)$

를 만족하는 영이 아닌 함수 $u(x,y)=X(x)Y(y)$를 구하자.

$k<0$일 경우,

$X(x)=A\cos \lambda x+B\sin \lambda x,\quad Y(y)=C\cosh \lambda y+D\sinh \lambda y$

이다.

$u(x,0)=C(A\cos \lambda x+B\sin \lambda x)=0$

인데 $A=B=0$이면 $X(x)=0$이므로 $C=0$이다.

$u(0,y)=AD\sinh \lambda y=0$

인데 $D=0$이면 $Y(y)=0$이므로 $A=0$이다.

$u(x,b)=BD\sin \lambda x\sinh \lambda b=0$

인데 $B=0$ 또는 $D=0$이다. 어느 경우든 $X(x)=0$ 또는 $Y(y)=0$이므로 $k<0$일 수 없다.

$k=0$일 경우,

$X(x)=A+Bx,\quad Y(y)=C+Dy$

이다.

$u(x,0)=C(A+Bx)=0$

인데 $A=B=0$이면 $X(x)=0$이므로 $C=0$이다.

$u(0,y)=ADy=0$

인데 $D=0$이면 $Y(x)=0$이므로 $A=0$이다.

$u(x,b)=BDxb=0$

인데 $B=0$ 또는 $D=0$이다. 어느 경우라도 $X(x)=0$ 또는 $Y(y)=0$이므로 $k=0$일 수 없다.

$k>0$일 경우,

$X(x)=A\cosh \lambda x+B\sinh \lambda x,\quad Y(y)=C\cos \lambda y+D\sin \lambda y$

이다.

$u(x,0)=C(A\cosh \lambda x+B\sinh \lambda x)=0$

인데 $A=B=0$이면 $X(x)=0$이므로 $C=0$이다.

$u(0,y)=AD\sin \lambda y=0$

인데, $D=0$이면 $Y(y)=0$이므로 $A=0$이다.

$u(x,b)=BD\sinh \lambda x\sin \lambda b=0$

이므로 $B=0$ 또는 $D=0$ 또는 $\sin \lambda b=0$이다. 따라서 자연수 n에 대해 $\lambda ={\frac {n\pi }{b}}$이다. 따라서

$u_{n}(x,y)=\sinh {\frac {n\pi x}{b}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}$

는 경계값 문제의 해이다. 이제 $u(x,y)$를 상수 $c_{1},c_{2},\dots$에 대해

$u(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\sinh {\frac {n\pi x}{b}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}$

로 나타낼 수 있다. 그러면

$u(a,y)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\sinh {\frac {n\pi a}{b}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}=f(y)$

인데,

$f(y)\sin {\frac {n\pi y}{b}}=\sin {\frac {n\pi y}{b}}\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\sinh {\frac {k\pi a}{b}}\sin {\frac {k\pi y}{b}}$

이고 양변을 0에서 b까지 정적분하면

$c_{n}={\frac {2}{b\sinh {\frac {n\pi a}{b}}}}\int _{0}^{b}f(y)\sin {\frac {n\pi y}{b}}dy$

를 얻는다.

등장 시점

열확산방정식

열 T에 대해, 시간에 따른 열방정식은

${\frac {\partial T}{\partial t}}=D\triangledown ^{2}T$

으로 주어진다. 만약 정상 상태에 있을 경우, ${\frac {\partial T}{\partial t}}=0$이므로

$\triangledown ^{2}T=0$

이 되어 라플라스 방정식을 얻는다.

같이 보기

• 푸아송 방정식