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정의

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공집합은 아무것도 들어 있지 않은 빈 상자에 비유할 수 있다.

원소를 가지지 않는 집합을 공집합(empty set)이라고 한다. $\{\}$, ∅, 또는 $\emptyset$으로 나타낸다. ∅와 $\emptyset$ 기호는 1939년 수학자 집단인 니콜라 부르바키가 처음 사용했다고 알려져 있다.

예시

• 방정식 $x^{2}+1=0$의 실근의 집합
• $\{(x,y,z)\vert x^{n}+y^{n}=z^{n},x\in \mathbb {N} ,y\in \mathbb {N} ,z\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} ,n\geq 3\}$ (페르마의 마지막 정리)

존재성과 유일성

체르멜로-프렝켈 집합론에서는 존재공리(The axiom of existence)

$\exists x\forall y[\neg (y\in x)]$

에 의해 공집합의 존재성을 보장받는다. 확장공리(The axiom of extensionality)

$\forall p\forall q[\forall x(x\in p\Leftrightarrow x\in q)\Rightarrow p=q]$

에 의해 공집합이 유일함을 증명할 수 있다.

A와 B를 공집합이라고 가정하자. 그러면 A의 임의의 원소는 B의 원소이며, 마찬가지로 B의 임의의 원소는 A의 원소임을 안다. (뭐?) 따라서 확장공리에 의해 A=B이다.

공집합이 유일함을 보이는 형식적 증명

번호	식	정당화
1	$\forall y[\neg (y\in A)]$	가설: A는 공집합.
2	$\forall y[\neg (y\in B)]$	가설: B는 공집합.
3	$\forall p\forall q[\forall x(x\in p\Leftrightarrow x\in q)\Rightarrow p=q]$	확장공리
4	$\neg (a\in A)$	(1)에서 Universal instantiation
5	$\neg (a\in B)$	(2)에서 Universal instantiation
6	$a\in A\Rightarrow a\in B$	(4)에서 Negation introduction
7	$a\in B\Rightarrow a\in A$	(5)에서 Negation introduction
8	$a\in A\Leftrightarrow a\in B$	(6)과 (7)에서 Biconditional introduction
9	$\forall x[(x\in A)\Leftrightarrow (x\in B)]$	(8)에서 Universal generalization
10	$\forall x[(x\in A\Leftrightarrow x\in B)]\Rightarrow A=B$	(3)에서 Universal instantiation
11	$A=B$	(9)와 (10)에서 Modus ponens

자연수의 집합론적인 구성

공집합은 유일하다는 성질로 인해 자연수를 구성하는 데 사용되기도 한다. 예를 들어,

${\begin{aligned}0&=\emptyset \\1&=\{\emptyset \}\\2&=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\\3&=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\\4&=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\}\\&\cdots \end{aligned}}$

로 정의한다. 그러면

${\begin{aligned}1&=0\cup \{0\}\\2&=1\cup \{1\}\\3&=2\cup \{2\}\\4&=3\cup \{3\}\\&\cdots \end{aligned}}$

이므로, x의 계승자(successor) $x+1$을

$x+1=x\cup \{x\}$

로 정의하자.자연수의 자리를 계승하는 중입니다. 집합 I가 다음 조건

• $0\in I$
• $x\in I$이면 $x+1\in I$이다.

을 만족하면 I를 귀납적 집합(Inductive set)이라고 한다. 그리고 임의의 귀납적 집합의 원소인 원소들의 집합을 자연수의 집합 $\mathbb {N}$이라고 하고, 자연수의 집합의 원소를 자연수라고 한다.

성질

임의의 집합 A에 대해,

• 공집합은 A의 부분집합이다.

  $\emptyset \subseteq A$

• A가 공집합의 부분집합이면 A는 공집합이다.

  $A\subseteq \emptyset \Rightarrow A=\emptyset$

• 공집합과 A의 합집합은 A이다.

  $\emptyset \cup A=A$

• 공집합과 A의 교집합은 공집합이다.

  $\emptyset \cap A=\emptyset$

• 공집합과 A의 곱집합은 공집합이다.

  $\emptyset \times A=\emptyset$

$\bigcap \emptyset$는 존재하지 않는다. 만약 존재한다면, 다음 명제가 성립한다.

$x\in \bigcap \emptyset \Leftrightarrow \forall A[A\in \emptyset \Rightarrow x\in A]$

그러면 $\forall A[A\in \emptyset \Rightarrow x\in A]$는 공진명제이므로 결국 임의의 x에 대해 $x\in \bigcap \emptyset$이다. 따라서 $\bigcap \emptyset$가 모든 집합의 집합이 되므로 모순이다.