n항 관계 정의
어떤 집합 의 곱집합(Cartesian Product)은 다음과 같이 정의될 수 있다
" 위의 n항 관계 "란 해당 곱집합의 부분집합으로 정의된다.[1]
이때 를 보통 다음과 같이 쓴다:
이는 일상어에서 ""이 관계 을 맺는다"라고 말하는 것에 대응한다.
2항 관계 정의
집합 R의 원소 r에 대해
를 만족하는 가 존재하면, R을 2항 관계(Binary relation)라고 한다. 이때 를 간단히
로 나타낸다. 이때, 인 y가 존재하는 x들의 집합을 R의 정의역(domain)이라 하고 로 쓴다.
고, 인 x가 존재하는 y들의 집합을 R의 치역(range)이라 하고 로 쓴다.
을 R의 마당(field)이라 하고 로 쓴다.
인 경우, 은 " 위의 2항 관계"라고 부르기도 한다.
2항 관계의 특성들
위의 2항 관계 이 띨 수 있는 대표적인 성질들은 다음과 같다:
- 반사성(or 재귀성; reflexivity):
- 대칭성(symmetricity):
- 비대칭성(asymmetricity):
- 반대칭성(antisymmetricity):
- 전이성(or 추이성, 이행성; transitivity):
- 동치관계: 이 반사성, 대칭성, 전이성을 모두 만족시키는 경우.
예
집합 A,B에 대해, A와 B의 곱집합
는 관계다.
집합 A에 대해, 소속관계(membership relation)
는 잘 정의되어 있다. 그러나
는 잘 정의되어 있지 않다. 왜냐 하면,
이므로,
이다. 이므로
이고 따라서
이다. 그러므로 모든 집합의 집합이 존재하게 되어 모순이 발생한다. 따라서 E는 관계가 아니다.[2]
- ↑ 단 "관계"는 (n+1)-중체 로 정의하며, 은 해당 관계의 "그래프"라고 부르는 경우도 있다.
- ↑ Hardegree, Set Theory, Chapter 2: Relations. 2015년 6월 12일에 확인.