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페미위키:포크 프로젝트/리브레 위키/그람-슈미트 정규직교화 문서 원본 보기
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페미위키:포크 프로젝트/리브레 위키/그람-슈미트 정규직교화
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'''그람-슈미트 정규직교화(Gram-Schmidt orthonomalization)''' 또는 '''그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)'''은 유한차원의 내적공간(inner product space)의 기저(basis)가 주어지면, 그 기저로부터 정규직교기저(orthonormal basis)를 만들 수 있다는 정리다. == 진술 == [[내적공간]] ''V''의 [[기저]] <math>B=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_n\}</math>이 주어졌다고 하자. 이때 ''V''의 원소 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n</math>를 : <math>\begin{align} \mathbf{v}_1&=\frac{\mathbf{u}_1}{\| \mathbf{u}_1 \|}\\ \mathbf{v}_2&=\frac{\mathbf{u}_2-(\mathbf{u}_2,\mathbf{v}_1)\mathbf{v}_1}{\| \mathbf{u}_2-(\mathbf{u}_2,\mathbf{v}_1)\mathbf{v}_1 \|}\\ \mathbf{v}_3&=\frac{\mathbf{u}_3-(\mathbf{u}_3,\mathbf{v}_1)\mathbf{v}_1-(\mathbf{u}_3,\mathbf{v}_2)\mathbf{v}_2}{\| \mathbf{u}_3-(\mathbf{u}_3,\mathbf{v}_1)\mathbf{v}_1-(\mathbf{u}_3,\mathbf{v}_2)\mathbf{v}_2 \|}\\ \vdots&\\ \mathbf{v}_n&=\frac{\mathbf{u}_n-\sum_{i=1}^n(\mathbf{u}_n,\mathbf{v}_i)\mathbf{v}_i}{\| \mathbf{u}_n-\sum_{i=1}^n(\mathbf{u}_n,\mathbf{v}_i)\mathbf{v}_i \|} \end{align}</math> 로 정의하면 <math>N=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}</math>은 ''V''의 정규직교기저이다. == 예시 == <!-- 추가바람 --> 2차 이하의 다항식들의 내적공간 <math>\mathcal{P}_2</math>의 내적이 다음과 같이 주어졌다고 하자. : <math>(p(x),q(x))=\int_{-1}^1 p(x)q(x)dx</math> <math>\{1,x,x^2\}</math>는 <math>P_2</math>의 기저이다. 그러나 : <math>(1,x^2)=\int_{-1}^1 x^2 dx=\frac{2}{3}\ne 0</math> 이므로 정규직교기저가 아니다. 이제 그람-슈미트 과정을 적용하면 : <math>\begin{align} \mathbf{v}_1&=\frac{1}{\| 1 \|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \mathbf{v}_2&=\frac{x-(x,\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}}{\| x-(x,\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}} \|}\\ &=\sqrt{\frac{3}{2}}x\\ \mathbf{v}_3&=\frac{x^2-(x^2,\sqrt{\frac{3}{2}}x)\sqrt{\frac{3}{2}}x-(x^2,\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}}{\| x^2-(x^2,\sqrt{\frac{3}{2}}x)\sqrt{\frac{3}{2}}x-(x^2,\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}} \|}\\ &=\sqrt{\frac{5}{2}}\frac{3}{2}(x^2-\frac{1}{3}) \end{align}</math> 이므로 <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{\frac{3}{2}}x,\sqrt{\frac{5}{2}}\frac{3}{2}(x^2-\frac{1}{3})\}</math>은 <math>\mathcal{P}_2</math>의 정규직교기저이다. 일반적으로 ''n''-1차 이하의 다항식들의 내적공간 <math>P_{n-1}</math>의 내적이 위와 같이 주어지고 기저 <math>\{1,x,x^2,\cdots,x^{n-1}\}</math>이 주어졌을 때, : <math>\mathbf{v}_i=\sqrt{\frac{2i+1}{2}}P_i(x)\;(1\le i \le n)</math> 이다. 이때 <math>P_i(x)</math>는 [[르장드르 다항식]]이다. [[분류:선형대수학]] [[분류:수학 정리]]
페미위키:포크 프로젝트/리브레 위키/그람-슈미트 정규직교화
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