T₁ 공간

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정의

위상공간 $X$ 의 임의의 서로 다른 점 $a,b\in X$ 에 대해 열린집합 $U,V$ 가 존재해 $a\in U,b\notin U,b\in V,a\notin V$ 이면 $X$ 를 $T_{1}$ 공간( $T_{1}$ -space)^[1]^:231 또는 티코노프 공간(Tychonoff space)^[2]^:227이라 한다.

Theorem — 다음 명제는 모두 동등하다.

$(X,{\mathcal {T}})$ 는 $T_{1}$ 공간이다.
$X$ 의 한원소집합은 닫힌집합이다.
${\mathcal {T}}$ 는 $X$ 의 쌍대유한위상을 포함한다.

예시

Example — 쌍대유한위상이 주어진 실수선은 $T_{1}$ 공간이다.

Non-Example — 시에르핀스키 공간은 $T_{1}$ 공간이 아니다.

성질

Theorem — $T_{1}$ 성질은 위상적 성질이다.

Theorem — $T_{1}$ 성질은 계승적 성질이다.

Theorem — $T_{1}$ 공간의 곱공간은 $T_{1}$ 공간이다.

출처

↑ Croom, Fred H (2003). 《Principles of Topology》. Singapore: Cengage Learning Asia. ISBN 981-243-288-4.
↑ Royden, Halsey; Fitzpatrick, Patrick (2010). 《Real analysis》 Four판. Pearson Education. ISBN 0-13-511355-5.

[1] Croom, Fred H (2003). 《Principles of Topology》. Singapore: Cengage Learning Asia. ISBN 981-243-288-4.

[2] Royden, Halsey; Fitzpatrick, Patrick (2010). 《Real analysis》 Four판. Pearson Education. ISBN 0-13-511355-5.

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