집합 [math]S[/math]유한집합이거나 [math]S[/math][math]\mathbb{N}[/math] 사이에 일대일 대응이 존재하면 [math]S[/math]가산집합(countable set)이라 한다. 가산집합이 아닌 집합은 비가산집합이라 한다.

공집합이 아닌 집합 [math]S[/math]에 대해 다음은 서로 동등하다.

  • [math]S[/math]는 가산집합이다.
  • 일대일 함수 [math]f:S\to \mathbb{N}[/math]가 존재한다.
  • 위로의 함수 [math]g:\mathbb{N}\to S[/math]가 존재한다.

1 예시

  • 모든 자연수의 집합 [math]\mathbb{N}[/math], 모든 정수의 집합 [math]\mathbb{Z}[/math], 모든 유리수의 집합 [math]\mathbb{Q}[/math]는 모두 가산집합이다.

2 성질

[math]S,T[/math]가 가산집합일 때,

  • [math]S\cup T[/math]는 가산집합이다.
  • [math]S\times T[/math]는 가산집합이다.