1 개요

중심이 같은 한 점인 두 개의 볼록 다각형이 있다고 하자. 중심에 대고 던진 다트는 중심을 기준으로 가우스 분포를 이루며 떨어질 것이다. 가우시안 상관관계 부등식 (GCI)는 이 다트가 두 개의 볼록 다각형에 한꺼번에 맞을 확률이 두 개의 볼록 다각형에 각각 맞을 확률을 곱한 것보다 크거나 같다고 하는 것이다. 즉, 두 개의 다각형이 겹치기 때문에, 하나를 맞추는 것이 다른 하나를 맞출 확률을 높인다는 것이다.[1]

[math]n[/math]차원 공간 [math]\mathbb{R}^n[/math]의 가측 부분집합 [math]A[/math]에서 표준 [math]n[/math]차원 가우스 측도는 다음과 같다.

[math] \mu_n(A) = (2\pi)^{-n/2}\int_A\exp(-\frac{1}{2}x^2)\,dx [/math]

가우시안 상관관계 부등식 (GCI)는 모든 볼록 대칭 집합 [math]A, B[/math]에 대해서 다음이 성립된다고 한다.


[math] \mu_n(A\cap B)\ge \mu_n(A)\mu_n(B)[/math]

2 추측의 제안 및 증명

가우시안 상관관계 부등식 (Gaussian Correlation Inequality)은 1955년 Dunnett과 Sobel에 의해 처음 추측이 제안되었고[2], 이것을 1972년 Das Gupta가 좀 더 다듬고 일반화하여 제안하였다.[3][4] 그리고 GCI는 2014년 토마스 로이엔에 의하여 증명되었다. [5][1]

3 출처

  1. 1.0 1.1 https://www.quantamagazine.org/20170328-statistician-proves-gaussian-correlation-inequality/
  2. https://academic.oup.com/biomet/article-abstract/42/1-2/258/240917/Approximations-to-the-probability-integral-and
  3. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=413364
  4. https://almostsure.wordpress.com/2009/09/27/the-gaussian-correlation-conjecture/
  5. https://arxiv.org/abs/1408.1028