거듭제곱근

[math]n[/math]이 양의 정수이고 [math]a[/math]가 양수일 때, 방정식

[math]x^n=a[/math]

의 실수인 해를 n-제곱근(nth root)이라 한다.

1 존재성과 유일성

정리 1. 임의의 [math]a\gt 0[/math]와 양의 정수 [math]n[/math]에 대해 [math]x^n=a[/math]인 유일한 [math]x\gt 0[/math]가 존재한다.

Proof

집합 [math]S[/math]를

[math]S=\{x\in\mathbb{R}:x\gt 0\text{ and }x^n \lt a \}[/math]

로 정의하자. 그러면 [math]\frac{a}{1+a}\in S[/math]이고 [math]1+a[/math]가 [math]S[/math]의 상계이므로 완비성 공리에 의해 [math]S[/math]는 상한 [math]y[/math]를 가진다. 삼분법에 의해, [math]a^n \gt y[/math], [math]a^n = y[/math], [math]a^n \lt y[/math] 중 하나만 성립한다. [math]a^n \gt y[/math]이면, [math]a^n - y \gt 0[/math]이므로 아르키메데스 성질에 의해

[math]n(y+1)^{n-1} \lt N(a-y^n)[/math]

인 [math]N\in\mathbb{N}[/math]이 존재한다. 그러면

[math]\begin{align}\left(y+\frac{1}{N}\right)^n - y^n&=\left(y+\frac{1}{N}-y\right)\sum_{k=0}^{n-1}\left(y+\frac{1}{N}\right)^k y^{n-k-1}\\ &\lt \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{n-1} (y+1)^{n-1}\\ &= \frac{n}{N}(y+1)^{n-1}\\ &\lt a-y^n \end{align}[/math]

이므로 [math]\left(y+\frac{1}{N}\right)^n \lt a[/math]이다. 따라서 [math]y+\frac{1}{N}\in S[/math]인데, 이는 [math]S[/math]의 상한이 [math]y[/math]라는 것에 모순이다. [math]a^n \lt y[/math]이면, [math]y - a^n \gt 0[/math]이므로 아르키메데스 성질에 의해

[math]1 \lt M\max\left\{y, \frac{y^n-a}{ny^{n-1}}\right\}[/math]

인 [math]M\in\mathbb{N}[/math]이 존재한다. 그러면

[math]y^n - \left(y-\frac{1}{M}\right)^n \lt y^n -a[/math]

이므로 [math]\left(y-\frac{1}{M}\right)^n \gt a[/math]이다. 그러면 [math]x\in S[/math]이면 [math]x^n \lt a \lt \left(y-\frac{1}{M}\right)^n[/math]이어서 [math]x \lt y-\frac{1}{M}[/math]이므로, [math]y-\frac{1}{M}[/math]은 [math]S[/math]의 상계가 된다. 이는 [math]y[/math]가 [math]S[/math]의 상한이라는 것에 모순이다. 따라서 [math]y^n = a[/math]이다.

[math]y[/math]와 다른 [math]z \gt 0[/math]가 존재해 [math]z^n = a[/math]를 만족한다고 하자. [math]y \gt z[/math]이면 [math]a = y^n \gt z^n = a[/math]이고, [math]z \gt y[/math]이면 [math]a= z^n \gt y^n = a[/math]이므로 모순이다.

2 표기와 예시

[math]a[/math]의 양의 n제곱근을 [math]a^{\frac{1}{n}}[/math] 또는 [math]\sqrt[n]{a}[/math]로 표기한다. [math]n=2[/math]이면 간단히 제곱근이라 하고 [math]\sqrt{a}[/math]로 표기한다.

5 참고 문헌

분류:

• 분야/수학