이 양의 정수이고 가 양수일 때, 방정식
의 실수인 해를 n-제곱근(nth root)이라 한다.
존재성과 유일성
정리 1. 임의의
와 양의 정수
에 대해
인 유일한
가 존재한다.[1]
Proof
집합 를
로 정의하자. 그러면 이고 가 의 상계이므로 완비성 공리에 의해 는 상한 를 가진다. 삼분법에 의해, , , 중 하나만 성립한다. 이면, 이므로 아르키메데스 성질에 의해
인 이 존재한다. 그러면
이므로 이다. 따라서 인데, 이는 의 상한이 라는 것에 모순이다. 이면, 이므로 아르키메데스 성질에 의해
인 이 존재한다. 그러면
이므로 이다. 그러면 이면 이어서 이므로, 은 의 상계가 된다. 이는 가 의 상한이라는 것에 모순이다. 따라서 이다.
와 다른 가 존재해 를 만족한다고 하자. 이면 이고, 이면 이므로 모순이다.
표기와 예시
의 양의 n제곱근을 또는 로 표기한다. 이면 간단히 제곱근이라 하고 로 표기한다.
성질
복소수 체계의 거듭제곱근
참고 문헌