거듭제곱근

$n$이 양의 정수이고 $a$가 양수일 때, 방정식

$x^n=a$

의 실수인 해를 n-제곱근(nth root)이라 한다.

존재성과 유일성

정리 1. 임의의

$a>0$

와 양의 정수

$n$

에 대해

$x^n=a$

인 유일한

$x>0$

가 존재한다.

Proof

집합 $S$를

$S=\{x\in \mathbb{ℝ}:x>0\text{ and }{x}^n<a\}$

로 정의하자. 그러면 $\frac{a}{1+a}\in S$이고 $1+a$가 $S$의 상계이므로 완비성 공리에 의해 $S$는 상한 $y$를 가진다. 삼분법에 의해, $a^n>y$, $a^n=y$, $a^n<y$ 중 하나만 성립한다. $a^n>y$이면, $a^n-y>0$이므로 아르키메데스 성질에 의해

$n(y+1{)}^{n-1}<N(a-y^n)$

인 $N\in \mathbb{\mathbb{N}}$이 존재한다. 그러면

$\begin{array}{rl}{(y+\frac{1}{N})}^n-y^n& =(y+\frac{1}{N}-y)\sum _{k=0}^{n-1}{(y+\frac{1}{N})}^k{y}^{n-k-1}\\ & <\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{n-1}(y+1{)}^{n-1}\\ & =\frac{n}{N}(y+1{)}^{n-1}\\ & <a-y^n\end{array}$

이므로 ${(y+\frac{1}{N})}^n<a$이다. 따라서 $y+\frac{1}{N}\in S$인데, 이는 $S$의 상한이 $y$라는 것에 모순이다. $a^n<y$이면, $y-a^n>0$이므로 아르키메데스 성질에 의해

$1<M\max \{y,\frac{y^n-a}{n{y}^{n-1}}\}$

인 $M\in \mathbb{\mathbb{N}}$이 존재한다. 그러면

$y^n-{(y-\frac{1}{M})}^n<y^n-a$

이므로 ${(y-\frac{1}{M})}^n>a$이다. 그러면 $x\in S$이면 $x^n<a<{(y-\frac{1}{M})}^n$이어서 $x<y-\frac{1}{M}$이므로, $y-\frac{1}{M}$은 $S$의 상계가 된다. 이는 $y$가 $S$의 상한이라는 것에 모순이다. 따라서 $y^n=a$이다.

$y$와 다른 $z>0$가 존재해 $z^n=a$를 만족한다고 하자. $y>z$이면 $a=y^n>z^n=a$이고, $z>y$이면 $a=z^n>y^n=a$이므로 모순이다.

표기와 예시

$a$의 양의 n제곱근을 $a^{\frac{1}{n}}$ 또는 $\sqrt[n]{a}$로 표기한다. $n=2$이면 간단히 제곱근이라 하고 $\sqrt{a}$로 표기한다.