집합
를
로 정의하자. 그러면
이고
가
의 상계이므로 완비성 공리에 의해
는 상한
를 가진다. 삼분법에 의해,
,
,
중 하나만 성립한다.
이면,
이므로 아르키메데스 성질에 의해
인
이 존재한다. 그러면
이므로
이다. 따라서
인데, 이는
의 상한이
라는 것에 모순이다.
이면,
이므로 아르키메데스 성질에 의해
인
이 존재한다. 그러면
이므로
이다. 그러면
이면
이어서
이므로,
은
의 상계가 된다. 이는
가
의 상한이라는 것에 모순이다. 따라서
이다.
와 다른
가 존재해
를 만족한다고 하자.
이면
이고,
이면
이므로 모순이다.