거듭제곱근

$n$ 이 양의 정수이고 $a$ 가 양수일 때, 방정식

$x^{n}=a$

의 실수인 해를 n-제곱근(nth root)이라 한다.

1 존재성과 유일성

정리 1. 임의의 $a>0$ 와 양의 정수 $n$ 에 대해 $x^{n}=a$ 인 유일한 $x>0$ 가 존재한다.^[1]

Proof

$S=\{x\in \mathbb {R} :x>0{\text{ and }}x^{n}<a\}$

로 정의하자. 그러면 ${\frac {a}{1+a}}\in S$ 이고 $1+a$ 가 $S$ 의 상계이므로 완비성 공리에 의해 $S$ 는 상한 $y$ 를 가진다. 삼분법에 의해, $a^{n}>y$ , $a^{n}=y$ , $a^{n}<y$ 중 하나만 성립한다. $a^{n}>y$ 이면, $a^{n}-y>0$ 이므로 아르키메데스 성질에 의해

$n(y+1)^{n-1}<N(a-y^{n})$

인 $N\in \mathbb {N}$ 이 존재한다. 그러면

${\begin{aligned}\left(y+{\frac {1}{N}}\right)^{n}-y^{n}&=\left(y+{\frac {1}{N}}-y\right)\sum _{k=0}^{n-1}\left(y+{\frac {1}{N}}\right)^{k}y^{n-k-1}\\&<{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{n-1}(y+1)^{n-1}\\&={\frac {n}{N}}(y+1)^{n-1}\\&<a-y^{n}\end{aligned}}$

이므로 $\left(y+{\frac {1}{N}}\right)^{n}<a$ 이다. 따라서 $y+{\frac {1}{N}}\in S$ 인데, 이는 $S$ 의 상한이 $y$ 라는 것에 모순이다. $a^{n}<y$ 이면, $y-a^{n}>0$ 이므로 아르키메데스 성질에 의해

$1<M\max \left\{y,{\frac {y^{n}-a}{ny^{n-1}}}\right\}$

인 $M\in \mathbb {N}$ 이 존재한다. 그러면

$y^{n}-\left(y-{\frac {1}{M}}\right)^{n}<y^{n}-a$

이므로 $\left(y-{\frac {1}{M}}\right)^{n}>a$ 이다. 그러면 $x\in S$ 이면 $x^{n}<a<\left(y-{\frac {1}{M}}\right)^{n}$ 이어서 $x<y-{\frac {1}{M}}$ 이므로, $y-{\frac {1}{M}}$ 은 $S$ 의 상계가 된다. 이는 $y$ 가 $S$ 의 상한이라는 것에 모순이다. 따라서 $y^{n}=a$ 이다.