1 정의

정의 1. 집합 [math]X[/math]가 주어지고, 함수 [math]d:X\times X\to\mathbb{R}[/math]이 임의의 [math]x,y,z\in X[/math]에 대해

[math]d(x,y)\ge 0[/math]

 

 

 

 

(1)

[math]d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y[/math]

 

 

 

 

(2)

[math]d(x,y)=d(y,x)[/math]

 

 

 

 

(3)

[math]d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)[/math]

 

 

 

 

(4)

를 만족하면, [math]d[/math][math]X[/math]거리(metric) 또는 거리함수(distance function)라고 하며 [math]d(x,y)[/math][math]x[/math]에서 [math]y[/math]로의 거리(distance)라고 한다. 거리함수 [math]d[/math]가 주어진 집합 [math]X[/math]거리공간(metric space)라고 하고 [math](X,d)[/math]로 쓴다.

정리 2. 함수 [math]d:X\times X\to \mathbb{R}[/math]이 임의의 [math]x,y,z\in X[/math]에 대해 조건 (2), (3), (4)를 만족한다고 가정하자. 그러면 [math]d[/math]는 거리함수이다.

예 3. [math]d[/math]가 거리함수가 되기 위한 조건 중 1이 아니라 다른 조건이 빠지면 [math]d[/math]는 거리함수가 아닐 수 있다.[1] 세 점 집합 [math]X=\{a,b,c\}[/math]가 주어졌다고 하자.

  • 함수 [math]d_2:X\times X\to \mathbb{R}[/math]을 임의의 [math]x,y\in X[/math]에 대해 [math]d_2(x,y)=0[/math]이 되도록 정의하면, 조건 1, 3, 4는 만족하지만 조건 2를 만족하지 않는다.
  • 함수 [math]d_3:X\times X\to \mathbb{R}[/math][math]d_3(a,a)=d_3(b,b)=d_3(c,c)=0[/math], [math]d_3(a,b)=d_3(b,a)=d_3(a,c)=d_3(c,a)=d_3(b,c)=1[/math], [math]d_3(c,b)=\frac{5}{4}[/math]이 되도록 정의하면 조건 1, 2, 4는 만족하지만 조건 3을 만족하지 않는다.
  • 함수 [math]d_4:X\times X\to \mathbb{R}[/math][math]d_4(a,a)=d_4(b,b)=d_4(c,c)=0[/math], [math]d_4(a,b)=d_4(b,a)=d_4(a,c)=d_4(c,a)=1[/math], [math]d_4(b,c)=d_4(c,b)=3[/math]이 되도록 정의하면 조건 1, 2, 3은 만족하지만 [math]d_4(b,c)\gt d_4(b,a)+d_4(a,c)[/math]이므로 조건 4를 만족하지 않는다.

정의 4. 함수 [math]d:X\times X\to \mathbb{R}[/math]가 조건 (1), (3), (4)를 만족하고 조건 (2)의 일부인 [math]x=y \Longrightarrow d(x,y)=0[/math]을 만족하면 [math]d[/math]유사거리공간(psuedometric space)이라고 한다.

정리 5. 임의의 거리공간은 유사거리공간이다.

2 예시

예 6. 다음은 거리공간의 예시이다.

  • [math]\mathbb{R}[/math][math]d(x,y)=|x-y|[/math]가 주어진 거리공간이다.
  • [math]\mathbb{R}^n[/math][math]d(x,y)=\left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^2\right)^{\frac{1}{2}}[/math]가 주어진 거리공간이다.
  • 임의의 노름공간 [math](V,\|\cdot \|)[/math]에 대해 [math]d(x,y)=\|x-y\|[/math]로 두면 [math](V,d)[/math]는 거리공간이다.
  • 임의의 집합 [math]X[/math]에 대해 [math]d(x,y)=\begin{cases}0&\text{if }x=y\\1&\text{if }x\ne y\end{cases}[/math]로 두면 [math](X,d)[/math]는 거리공간이고, 이를 이산거리공간이라고 한다.
  • [math][a,b][/math]에서 정의된 모든 연속실함수의 집합을 [math]\mathcal{C}[a,b][/math]라 하자. 이때 [math]\rho(f,g)=\int_a^b |f(x)-g(x)|dx[/math], [math]\rho'(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|:x\in [a,b]\}[/math]는 모두 [math]\mathcal{C}[a,b][/math]의 거리함수이다.

3 열린집합과 닫힌집합

참고 열린집합 문서도 살펴 보세요.

정의 7. 거리공간 [math](X,d)[/math]에서 중심이 [math]a\in X[/math]이고 반지름이 [math]r\gt0[/math]인 열린 공 [math]B_d(a,r)[/math]을 다음과 같이 정의하자.

[math]B_d(a,r)=\{x\in X:d(a,x) \lt r\}[/math]

[math]X[/math]부분집합 [math]O[/math]가 열린 공의 합집합이면 [math]O[/math][math]X[/math]의 열린집합이라고 한다. 이렇게 정의된 모든 열린집합의 모임을 [math]d[/math]가 생성한 [math]X[/math]의 위상(topology for [math]X[/math] generated by [math]d[/math])이라고 한다.

정의 8. [math]X[/math]의 부분집합 [math]C[/math]에 대해 [math]X\setminus C[/math]가 열린집합이면 [math]C[/math]를 닫힌집합이라고 한다.

정리 9. 거리공간 [math]X[/math]에서,

  • [math]\emptyset,X[/math]는 열린집합이다.
  • 열린집합의 합집합은 열린집합이다.
  • 가산 개 열린집합의 교집합은 열린집합이다.

정리 9위상공간의 정의에 이용된다.

4 두 집합 사이의 거리

정의 10. 위상공간 [math]X[/math]의 한 점 [math]p[/math]와 부분집합 [math]A[/math]에 대해,

[math]d(p,A)=\inf\{d(p,a):a\in A\}[/math]

[math]p[/math]에서 [math]A[/math]까지의 거리라고 한다.

정의 11. 위상공간 [math]X[/math]의 두 부분집합 [math]A,B[/math]에 대해,

[math]d(A,B)=\max\left\{\sup_{a\in A} d(a,B),\sup_{b\in B}d(b,A)\right\}[/math]

[math]A[/math][math]B[/math] 사이의 하우스도르프 거리라고 한다.

5 수열의 극한

정의 12. 거리공간 [math](X,d)[/math]에서 정의된 수열 [math]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/math][math]x\in X[/math]이 주어졌을 때, 임의의 [math]\epsilon \gt 0[/math]에 대해 양의 정수 [math]N[/math]이 존재해 임의의 양의 정수 [math]n \gt N[/math]에 대해 [math]d(x_n,x)\lt \epsilon[/math]이면 [math]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/math][math]x[/math]로 수렴한다고 한다.

정리 13. 거리공간에서 정의된 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다.

정의 14. 거리공간 [math](X,d)[/math]에서 정의된 수열 [math]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/math]에 대해, 임의의 [math]\epsilon \gt 0[/math]에 대해 양의 정수 [math]N[/math]이 존재해 임의의 양의 정수 [math]m,n \gt N[/math]에 대해 [math]d(x_m,x_n)\lt \epsilon[/math]이면 [math]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/math]코시 수열이라고 한다.

임의의 수렴하는 수열은 코시 수열이지만, 코시 수열이 반드시 수렴하지는 않는다. 임의의 코시 수열이 수렴하는 거리공간을 완비거리공간이라 한다. [math]\mathbb{R}[/math]은 대표적인 완비거리공간이다.

6 연속함수

참고 연속함수 문서도 살펴 보세요.

정의 15. 거리공간 [math](X,d),(Y,d')[/math]과 함수 [math]f:(X,d)\to (Y,d')[/math]가 주어졌다고 하자. 임의의 [math]\epsilon \gt 0[/math]에 대해 [math]\delta \gt 0[/math]이 존재해, [math]x\in X[/math]이고 [math]d(x,a)\lt\delta[/math]이면 [math]d'(f(x),f(a))\lt\epsilon[/math]일 때, [math]f[/math][math]a[/math]에서 연속이라고 한다. [math]f[/math][math]X[/math]의 임의의 점에서 연속이면, [math]f[/math]를 연속함수라고 한다.

정리 16. 거리공간 [math](X,d),(Y,d')[/math]와 함수 [math]f:(X,d)\to (Y,d')[/math]에 대해, 다음 명제는 동등하다.

  • [math]f[/math]는 연속함수이다.
  • [math]a\in X[/math]로 수렴하는 임의의 수열 [math]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/math]에 대해 [math]\{f(x_n)\}_{n=1}^{\infty}[/math][math]f(a)[/math]로 수렴한다.
  • [math]Y[/math]의 임의의 열린집합 [math]O[/math]에 대해 [math]f^{-1}(O)[/math][math]X[/math]의 열린집합이다.
  • [math]Y[/math]의 임의의 닫힌집합 [math]C[/math]에 대해 [math]f^{-1}(C)[/math][math]X[/math]의 닫힌집합이다.}}

정의 17. 거리공간 [math](X,d),(Y,d')[/math]과 함수 [math]f:(X,d)\to (Y,d')[/math]가 주어졌다고 하자. 임의의 [math]\epsilon \gt 0[/math]에 대해 [math]\delta \gt 0[/math]이 존재해 [math]d(x,y)\lt\delta[/math]인 임의의 [math]x,y\in X[/math]에 대해 [math]d'(f(x),f(y))\lt\epsilon[/math]이면 [math]f[/math]고른연속(uniformly continuous)이라고 한다.

7 거리공간의 곱공간

유한 개 거리공간 [math](X_1,d_1),\dots,(X_n,d_n)[/math]에 대해, [math]X=\prod_{i=1}^n X_i[/math]으로 정의하고 [math]d:X\times X\to \mathbb{R}[/math]

[math]d(x,y)=\left(\sum_{i=1}^n (d_i(x_i,y_i))^2 \right)^\frac{1}{2}[/math]

로 정의하면 [math](X,d)[/math]는 거리공간이다. 이때 [math]x=(x_1,\dots, x_n)[/math], [math]y=(y_1,\dots, y_n)[/math]이다.

거리공간열 [math]\{(X_n,d_n)\}_{n=1}^{\infty}[/math]에 대해 [math]X=\prod_{n=1}^{\infty} X_n[/math]으로 정의하고 [math]d:X\times X\to \mathbb{R}[/math]

[math]d(x,y)=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{d_n(x_n,y_n)}{n}\right)^2\right)^\frac{1}{2}[/math]

로 정의하면 [math](X,d)[/math]는 거리공간이다.

8 위상적 성질

정리 18. 임의의 거리공간은 제1가산공간이다.

정리 19. 임의의 분해가능 거리공간은 제2가산공간이다.

9 거리화 가능 공간

참고 거리화 가능 공간 문서도 살펴 보세요.

정의 20. 위상공간 [math](X,\mathcal{T})[/math]에 대해, [math]X[/math]에서 정의된 거리 [math]d[/math]가 생성한 위상이 [math]\mathcal{T}[/math]와 같으면 [math]X[/math]를 거리화 가능 공간(metrizable space)이라고 한다. 노름공간과 가산 개 거리공간의 곱은 거리화 가능 공간이다.

우리손 거리화 정리(Urysohn Metrization Theorem) — 임의의 제2가산 정칙공간은 거리화 가능 공간이다.

나가타-스미르노프-빙 거리화 정리(Nagata-Smirnov-Bing Metrization Theorem) — 위상공간이 거리화 가능 공간일 필요충분조건은 정칙공간이고 σ-국소유한 기저를 가지는 것이다.

10 출처

  1. T. W. K¨orner (2015-08-17). "Metric and Topological Spaces" (PDF). p. 109.