거리공간

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1 정의

정의 1. 집합 가 주어지고, 함수 이 임의의 에 대해

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

(4)

를 만족하면, 거리(metric) 또는 거리함수(distance function)라고 하며 에서 로의 거리(distance)라고 한다. 거리함수 가 주어진 집합 거리공간(metric space)라고 하고 로 쓴다.

정리 2. 함수 이 임의의 에 대해 조건 (2), (3), (4)를 만족한다고 가정하자. 그러면 는 거리함수이다.

예 3. 가 거리함수가 되기 위한 조건 중 1이 아니라 다른 조건이 빠지면 는 거리함수가 아닐 수 있다.[1] 세 점 집합 가 주어졌다고 하자.

  • 함수 을 임의의 에 대해 이 되도록 정의하면, 조건 1, 3, 4는 만족하지만 조건 2를 만족하지 않는다.
  • 함수 , , 이 되도록 정의하면 조건 1, 2, 4는 만족하지만 조건 3을 만족하지 않는다.
  • 함수 , , 이 되도록 정의하면 조건 1, 2, 3은 만족하지만 이므로 조건 4를 만족하지 않는다.

정의 4. 함수 가 조건 (1), (3), (4)를 만족하고 조건 (2)의 일부인 을 만족하면 유사거리공간(psuedometric space)이라고 한다.

정리 5. 임의의 거리공간은 유사거리공간이다.

2 예시

예 6. 다음은 거리공간의 예시이다.

  • 가 주어진 거리공간이다.
  • 가 주어진 거리공간이다.
  • 임의의 노름공간 에 대해 로 두면 는 거리공간이다.
  • 임의의 집합 에 대해 로 두면 는 거리공간이고, 이를 이산거리공간이라고 한다.
  • 에서 정의된 모든 연속실함수의 집합을 라 하자. 이때 , 는 모두 의 거리함수이다.

3 열린집합과 닫힌집합

정의 7. 거리공간 에서 중심이 이고 반지름이 인 열린 공 을 다음과 같이 정의하자.

부분집합 가 열린 공의 합집합이면 의 열린집합이라고 한다. 이렇게 정의된 모든 열린집합의 모임을 가 생성한 의 위상(topology for generated by )이라고 한다.

정의 8. 의 부분집합 에 대해 열린집합이면 닫힌집합이라고 한다.

정리 9. 거리공간 에서,

  • 는 열린집합이다.
  • 열린집합의 합집합은 열린집합이다.
  • 가산 개 열린집합의 교집합은 열린집합이다.

정리 9위상공간의 정의에 이용된다.

4 두 집합 사이의 거리

정의 10. 위상공간 의 한 점 와 부분집합 에 대해,

에서 까지의 거리라고 한다.

정의 11. 위상공간 의 두 부분집합 에 대해,

사이의 하우스도르프 거리라고 한다.

5 수열의 극한

정의 12. 거리공간 에서 정의된 수열 이 주어졌을 때, 임의의 에 대해 양의 정수 이 존재해 임의의 양의 정수 에 대해 이면 로 수렴한다고 한다.

정리 13. 거리공간에서 정의된 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다.

정의 14. 거리공간 에서 정의된 수열 에 대해, 임의의 에 대해 양의 정수 이 존재해 임의의 양의 정수 에 대해 이면 코시 수열이라고 한다.

임의의 수렴하는 수열은 코시 수열이지만, 코시 수열이 반드시 수렴하지는 않는다. 임의의 코시 수열이 수렴하는 거리공간을 완비거리공간이라 한다. 은 대표적인 완비거리공간이다.

6 연속함수

정의 15. 거리공간 과 함수 가 주어졌다고 하자. 임의의 에 대해 이 존재해, 이고 이면 일 때, 에서 연속이라고 한다. 의 임의의 점에서 연속이면, 연속함수라고 한다.

정리 16. 거리공간 와 함수 에 대해, 다음 명제는 동등하다.

  • 는 연속함수이다.
  • 로 수렴하는 임의의 수열 에 대해 로 수렴한다.
  • 의 임의의 열린집합 에 대해 의 열린집합이다.
  • 의 임의의 닫힌집합 에 대해 의 닫힌집합이다.}}

정의 17. 거리공간 과 함수 가 주어졌다고 하자. 임의의 에 대해 이 존재해 인 임의의 에 대해 이면 고른연속(uniformly continuous)이라고 한다.

7 거리공간의 곱공간

유한 개 거리공간 에 대해, 으로 정의하고

로 정의하면 는 거리공간이다. 이때 , 이다.

거리공간열 에 대해 으로 정의하고

로 정의하면 는 거리공간이다.

8 위상적 성질

정리 18. 임의의 거리공간은 제1가산공간이다.

정리 19. 임의의 분해가능 거리공간은 제2가산공간이다.

9 거리화 가능 공간

정의 20. 위상공간 에 대해, 에서 정의된 거리 가 생성한 위상이 와 같으면 를 거리화 가능 공간(metrizable space)이라고 한다. 노름공간과 가산 개 거리공간의 곱은 거리화 가능 공간이다.

우리손 거리화 정리(Urysohn Metrization Theorem) — 임의의 제2가산 정칙공간은 거리화 가능 공간이다.

나가타-스미르노프-빙 거리화 정리(Nagata-Smirnov-Bing Metrization Theorem) — 위상공간이 거리화 가능 공간일 필요충분조건은 정칙공간이고 σ-국소유한 기저를 가지는 것이다.

10 출처

  1. T. W. K¨orner (2015년 8월 17일). “Metric and Topological Spaces” (PDF). 109쪽. 
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