경로(위상수학)

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정의 1. 구간 [0,1]에서 위상공간 X로의 연속함수

α:[0,1]X

경로(path)라고 한다. 이때 p(0)을 시초점(initial point), p(1)을 종점(terminal point)이라 하고 시초점과 종점을 통틀어 끝점(endpoint)이라 한다. 경로의 시점과 종점이 같으면 그 경로를 루프(loop)라 하고, 공통 끝점을 바탕점(base point)이라 한다.

경로연결공간

정의 2. 위상공간 X의 임의의 서로 다른 두 점 a,b에 대해 시초점이 a이고 종점이 b인 경로가 존재하면 X경로연결공간이라 한다.

정리 3. 경로연결공간은 연결공간이다.

경로호모토피

두 경로 사이의 호모토피를 시각적으로 나타낸 이미지.

정의 4. α,β:[0,1]Xα(0)=β(0)이고 α(1)=β(1)인 경로라고 하자. 이때 연속함수 F:[0,1]×[0,1]X가 존재해

F(t,0)=α(t),F(t,1)=β(t),tI

F(0,s)=α(0)=β(0),F(1,s)=α(1)=β(1),sI

이면 Fαβ 사이의 호모토피(homotopy)라고 하고, αβ가 끝점에 대해 동등, 또는 호모토픽(equivalent/homotopic modulo endpoints)이라고 한다.

정리 5. 경로호모토피 관계는 동등관계이다.