정의 1. 구간 [math][0,1][/math]에서 위상공간 [math]X[/math]로의 연속함수

[math]\alpha:[0,1]\to X[/math]

경로(path)라고 한다. 이때 [math]p(0)[/math]을 시초점(initial point), [math]p(1)[/math]을 종점(terminal point)이라 하고 시초점과 종점을 통틀어 끝점(endpoint)이라 한다. 경로의 시점과 종점이 같으면 그 경로를 루프(loop)라 하고, 공통 끝점을 바탕점(base point)이라 한다.

1 경로연결공간

참고 경로연결공간 문서도 살펴 보세요.

정의 2. 위상공간 [math]X[/math]의 임의의 서로 다른 두 점 [math]a,b[/math]에 대해 시초점이 [math]a[/math]이고 종점이 [math]b[/math]인 경로가 존재하면 [math]X[/math]경로연결공간이라 한다.

정리 3. 경로연결공간은 연결공간이다.

2 경로호모토피

두 경로 사이의 호모토피를 시각적으로 나타낸 이미지.
참고 호모토피 문서도 살펴 보세요.

정의 4. [math]\alpha,\beta:[0,1]\to X[/math][math]\alpha(0)=\beta(0)[/math]이고 [math]\alpha(1)=\beta(1)[/math]인 경로라고 하자. 이때 연속함수 [math]F:[0,1]\times [0,1]\to X[/math]가 존재해

[math]F(t,0)=\alpha(t),F(t,1)=\beta(t),\quad t\in I[/math]

[math]F(0,s)=\alpha(0)=\beta(0),F(1,s)=\alpha(1)=\beta(1),\quad s\in I[/math]

이면 [math]F[/math][math]\alpha[/math][math]\beta[/math] 사이의 호모토피(homotopy)라고 하고, [math]\alpha[/math][math]\beta[/math]가 끝점에 대해 동등, 또는 호모토픽(equivalent/homotopic modulo endpoints)이라고 한다.

정리 5. 경로호모토피 관계는 동등관계이다.