경로(위상수학)

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정의 1. 구간 에서 위상공간 로의 연속함수

경로(path)라고 한다. 이때 을 시초점(initial point), 을 종점(terminal point)이라 하고 시초점과 종점을 통틀어 끝점(endpoint)이라 한다. 경로의 시점과 종점이 같으면 그 경로를 루프(loop)라 하고, 공통 끝점을 바탕점(base point)이라 한다.

1 경로연결공간

정의 2. 위상공간 의 임의의 서로 다른 두 점 에 대해 시초점이 이고 종점이 인 경로가 존재하면 경로연결공간이라 한다.

정리 3. 경로연결공간은 연결공간이다.

2 경로호모토피

두 경로 사이의 호모토피를 시각적으로 나타낸 이미지.

정의 4. 이고 인 경로라고 하자. 이때 연속함수 가 존재해

이면 사이의 호모토피(homotopy)라고 하고, 가 끝점에 대해 동등, 또는 호모토픽(equivalent/homotopic modulo endpoints)이라고 한다.

정리 5. 경로호모토피 관계는 동등관계이다.

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