경로(위상수학)

정의 1. 구간 $[0,1]$에서 위상공간 $X$로의 연속함수

$\alpha :[0,1]\to X$

를 경로(path)라고 한다. 이때 $p(0)$을 시초점(initial point), $p(1)$을 종점(terminal point)이라 하고 시초점과 종점을 통틀어 끝점(endpoint)이라 한다. 경로의 시점과 종점이 같으면 그 경로를 루프(loop)라 하고, 공통 끝점을 바탕점(base point)이라 한다.

경로연결공간

정의 2. 위상공간 $X$의 임의의 서로 다른 두 점 $a,b$에 대해 시초점이 $a$이고 종점이 $b$인 경로가 존재하면 $X$를 경로연결공간이라 한다.

정리 3. 경로연결공간은 연결공간이다.

경로호모토피

두 경로 사이의 호모토피를 시각적으로 나타낸 이미지.

정의 4. $\alpha ,\beta :[0,1]\to X$가 $\alpha (0)=\beta (0)$이고 $\alpha (1)=\beta (1)$인 경로라고 하자. 이때 연속함수 $F:[0,1]\times [0,1]\to X$가 존재해

$F(t,0)=\alpha (t),F(t,1)=\beta (t),\quad t\in I$

$F(0,s)=\alpha (0)=\beta (0),F(1,s)=\alpha (1)=\beta (1),\quad s\in I$

이면 $F$를 $\alpha$와 $\beta$ 사이의 호모토피(homotopy)라고 하고, $\alpha$와 $\beta$가 끝점에 대해 동등, 또는 호모토픽(equivalent/homotopic modulo endpoints)이라고 한다.

정리 5. 경로호모토피 관계는 동등관계이다.