고유값 분해

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고유값 분해는 어떤 행렬을 그 행렬의 고유값과 고유벡터로 구성된 여러 개의 행렬들로 구성된 식을 이용하여 나타내는 방법이다.

1 고유값과 고유벡터

고유값과 고유벡터는 다음과 같이 정의된다.

행렬 A와 스칼라 λ∈R, 그리고 영벡터가 아닌 벡터 e∈Rn에 대해 다음 조건을 만족할 때, λ는 A의 고유값(eigenvalue)이고, e는 A의 고유벡터(eigenvector)이다.
Ae = λe

일반적으로 n차원 행렬에 대해 고유값은 n개 이하만큼 존재하며, 각각의 서로 다른 고유값은 서로 다른 벡터공간을 생성한다.

2 고유값 분해

고유값 분해는 n차원 행렬을 n개의 고유벡터를 서로 독립인 열벡터로 가지는 행렬 S와, S의 각 열벡터에 대응하는 고유값을 대각 원소로 삼는 대각 행렬 Λ, 그리고 S의 역행렬, 이 세 행렬의 곱으로 표현한다. 즉,

A = SΛS-1

그러나 S가 역행렬이 존재하지 않을 수 있기에, 보다 일반화된 형식은 다음과 같다.

AS = SΛ

몇 개의 고유값을 선택하느냐에 따라, 하나의 행렬이 만들어내는 열공간에 속하는 벡터들을 오차범위 이내에서 더 낮은 차원으로 근사할 수 있다. 선택하는 고유값의 개수가 많을수록, 일반적으로 오차는 줄어든다.

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