급수

급수란, 단순히 설명하여 어떤 수열(실수열, 혹은 복소수열)이 주어졌을 때, 시작하는 항부터 주어진 항까지의 합을 다시금 수열로 표현한 것이라고 할 수 있다.

어떤 수열 $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$이 주어졌을 때, 새로운 수열 $\{s_n{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$을 $s_n=\sum _{i=0}^n{a}_i$으로 정의할 수 있으며, 이를 급수라고 한다. 이 때의 $s_n$을 제 $n$ 부분합이라고 한다. 만약, 극한 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n$이 존재한다면, 급수 $s_n=\sum _{i=0}^n{a}_i$은 수렴한다고 하며, 극한이 존재하지 않는다면 급수는 발산한다고 한다. 극한이 존재하여 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=s\in \mathbb{ℂ}$일 때, $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i=s$와 같이 이를 나타낸다.

예시

• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i$는 수렴하지 않는다.

• $z\in \mathbb{ℂ}$가 $|z|<1$을 만족한다면, $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n=\frac{1}{1-z}$이다.