뇌터 환

This page was last edited on 16 December 2019, at 23:41.

환론에서 뇌터 환(Noether環, 영어: Noetherian ring)은 아이디얼들이 오름 사슬 조건을 만족하는 이다. 대략, 체 위의 유한 개의 변수에 대한 다항식환처럼, "지나치게 크지 않은" 환을 뜻한다.

1 정의

1.1 뇌터 가군

범주 [math]\mathcal C[/math] 속의 대상 [math]X\in\mathcal C[/math]부분 대상들의 부분 순서 집합 [math]\operatorname{Sub}(X)[/math]오름 사슬 조건을 만족시킨다면, [math]X[/math]뇌터 대상(영어: Noetherian object)이라고 한다.[1]:146

[math]R[/math] 위의 왼쪽 가군 [math]_RM[/math]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 왼쪽 뇌터 가군(영어: left Noetherian module)이라고 한다.

오른쪽 뇌터 가군(영어: right Noetherian module) 역시 마찬가지 조건을 만족시키는 오른쪽 가군으로 정의할 수 있다.

가환환 위의 가군의 경우, 왼쪽·오른쪽 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

1.2 뇌터 환

[math]R[/math]에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 뇌터 환(영어: left Noetherian ring)이라고 한다.

마찬가지로 오른쪽 뇌터 환(영어: right Noetherian ring)을 정의할 수 있다. 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환인 환을 (양쪽) 뇌터 환(영어: (two-sided) Noetherian ring)이라고 한다.

가환환의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 뇌터 가환환(영어: Noetherian commutative ring)이라고 한다.

  • 왼쪽 뇌터 환이다.
  • 오른쪽 뇌터 환이다.
  • 양쪽 뇌터 환이다.
  • 스펙트럼 [math]\operatorname{Spec}R[/math]는 뇌터 스킴이다.[4]:83, Proposition II.3.2
  • 스펙트럼 [math]\operatorname{Spec}R[/math]는 국소 뇌터 스킴이다.
  • (코언 정리 영어: Cohen’s theorem) 모든 소 아이디얼 [math]\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R[/math]이 유한 생성 아이디얼이다.[5]

1.3 뇌터 스킴

스킴 [math]X[/math]에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 국소 뇌터 스킴(局所-, 영어: locally Noetherian scheme)이라고 한다.

스킴 [math]X[/math]에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 뇌터 스킴(영어: Noetherian scheme)이라고 한다.

2 성질

2.1 뇌터 가군의 성질

[math]R[/math] 위의 왼쪽 가군 [math]_RM[/math] 및 그 부분 가군 [math]N\subseteq M[/math]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:20, (1.20)

  • [math]M[/math]이 뇌터 가군이다.
  • [math]N[/math][math]M/N[/math] 둘 다 뇌터 가군이다.

(아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

[math]R[/math] 위의 왼쪽 가군 [math]M[/math]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:20, (1.19)

  • [math]M[/math]은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
  • [math]M[/math]은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, [math]M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_k=M[/math]이 존재하며, [math]M_i/M_{i-1}[/math]은 모두 단순 가군이다.

특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

2.2 뇌터 환의 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

유한환왼쪽 아르틴 환 ⊊ 왼쪽 뇌터 환
유한환오른쪽 아르틴 환 ⊊ 오른쪽 뇌터 환

만약 [math]R[/math]가 왼쪽 뇌터 환이라면, 다음 환들 역시 왼쪽 뇌터 환이다.

만약 [math]R[/math]가 뇌터 가환환이라면, 다음 가환환들 역시 뇌터 가환환이다.

[math]S[/math]부분환 [math]R\subseteq S[/math]가 주어졌으며, [math]R[/math]가환환이며, [math]_RS[/math][math]R[/math]-유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • [math]S[/math]가 왼쪽 뇌터 환이다.
  • [math]R[/math]가 뇌터 환이다.

그러나 만약 [math]R[/math]가환환이 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다.

뇌터 가환환의 경우, 크룰 높이 정리가 성립한다. 특히, 뇌터 가환환의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합내림 사슬 조건을 만족시킨다. (그러나 이는 비가환 왼쪽 뇌터 환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)

2.3 뇌터 스킴의 성질

국소 뇌터 스킴의 줄기는 모두 뇌터 국소환이다.[6]:55, Proposition 2.3.46(a) (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.) 국소 뇌터 스킴의 구조층은 (스스로 위의 가군층으로서) 연접층이다. 국소 뇌터 스킴은 항상 준분리 스킴이다 (즉, 국소 뇌터 스킴 [math]X[/math]에 대하여, 유일한 스킴 사상 [math]X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z[/math]준분리 사상이다).

뇌터 스킴은 뇌터 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

[math]X[/math]가 국소 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 국소 뇌터 스킴이다.

[math]X[/math]가 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 뇌터 스킴이다.

특히, 위의 대수다양체는 뇌터 스킴이다.

3

모든 데데킨트 정역은 뇌터 환이다. (따라서, 모든 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, , 이산 값매김환은 데데킨트 정역이므로 뇌터 가환환이다.) 모든 정칙 국소환은 뇌터 환이다.

반면, 뇌터 환이 아닌 유일 인수 분해 정역이나 뇌터 환이 아닌 값매김환이 존재한다.

3.1 뇌터 벡터 공간

[math]K[/math] 위의 가군(벡터 공간)의 경우 다음 세 조건이 서로 동치이다.

3.2 오른쪽 뇌터 환이 아닌 왼쪽 뇌터 환

무한 차수의 체의 확대

[math]L/K[/math]
[math]\dim_KL\ge\aleph_0[/math]

가 주어졌다고 하자. (예를 들어, [math]L/K=\mathbb R/\mathbb Q[/math]를 잡을 수 있다.) 그렇다면 삼각환

[math]\begin{pmatrix}L&L\\0&K\end{pmatrix}=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\colon a,b\in L,\;c\in K\right\}[/math]

를 생각하자. 이는 왼쪽 뇌터 환이자 왼쪽 아르틴 환이지만, 오른쪽 뇌터 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니다.[2]:22, Corollary 1.24

3.3 뇌터 환의 부분환인 비뇌터 환

[math]D[/math]가 뇌터 환이 아닌 임의의 정역이라고 하자. 그렇다면, 그 분수체 [math]\operatorname{Frac}(D)[/math]는 (이므로) 뇌터 환이며, [math]D[/math]는 그 부분환이다.

삼각환 [math]R=(\begin{smallmatrix}\mathbb Z&\mathbb Q\\0&\mathbb Q\end{smallmatrix})[/math]은 오른쪽 뇌터 환이며, 양쪽 뇌터 환 [math]S=(\begin{smallmatrix}\mathbb Q&\mathbb Q\\0&\mathbb Q\end{smallmatrix})[/math]의 부분환이지만, 왼쪽 뇌터 환이 아니다.[2]:20, Corollary 1.23)

3.4 뇌터 조건의 비국소성

임의의 무한 기수 [math]\kappa\ge\aleph_0[/math]에 대한 직접곱 [math]R=\mathbb F_2^\kappa[/math]을 생각하자. 이는 뇌터 환이 아니다. 반면, 임의의 소 아이디얼 [math]\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R[/math]에서의 국소화 [math]R_{\mathfrak p}\cong\mathbb F_2[/math]는 뇌터 환이다.

4 역사

에미 뇌터는 1921년 논문[7]에서 환의 아이디얼의 오름 사슬 조건을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"으로 불리게 되었다.

5 출처

<reference/>

6 외부 링크

  1. Faith, Carl (1973). 《Algebra: rings, modules, and categories I》. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 190. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-80634-6. ISBN 978-3-642-80636-0. ISSN 0072-7830. 
  2. 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 
  3. 3.0 3.1 3.2 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics No. 189 (영어). Springer. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 
  4. 4.0 4.1 4.2 4.3 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  5. Cohen, Irvin Sol (1950). “Commutative rings with restricted minimum condition”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 17 (1): 27–42. doi:10.1215/S0012-7094-50-01704-2. ISSN 0012-7094. MR 0033276. Zbl 0041.36408. 
  6. 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 10일에 확인함. 
  7. Noether, Emmy (1921). “Idealtheorie in Ringbereichen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 83 (1–2): 24–66. doi:10.1007/BF01464225. ISSN 0025-5831. 2015년 7월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 16일에 확인함. 
Retrieved from "https://femiwiki.com/index.php?title=뇌터_환&oldid=155642"