단순함수

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정의

가측집합 E에서 정의된 함수 f:E에 대해, 서로소이고 i=1nEi=E인 가측집합 E1,,En실수 a1,,an이 존재해

f(x)=ai,xEi,1in

이면 f단순함수(simple function)라고 한다. 단순함수를 지시함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

f(x)=i=1nai𝟏Ei(x)

예시

Example — 다음은 단순함수의 예시이다.

  • 임의의 계단함수는 단순함수이다.
  • 가측집합에서 정의된 임의의 지시함수는 단순함수이다.

성질

Theorem — 두 단순함수의 합과 곱은 단순함수이다.

단순함수의 적분

단순함수의 표준표현(canonical representation)은

φ=i=1nai𝟏Ai

와 같이 나타난다. 이때 a1,,an이 아닌 서로 다른 실수이고, Ai={x:ϕ(x)=ai}이다. 이때 φ의 적분을

φ=i=1naim(Ai)

으로 정의하자. 그러면 E1,,Enm(Ei)<이고 서로소인 가측집합일 때, φ=i=1nai𝟏Ei이면

φ=i=1naim(Ei)

을 얻는다.

가측집합 E에 대해 m(E)<이고 f:E유계인 함수일 때, infψfEψ를 상르베그 적분(upper Lebesgue integral), supφfEφ를 하르베그 적분(lower Lebesgue integral)이라고 한다. f의 상르베그 적분과 하르베그 적분이 같으면 르베그 적분가능(Lebesgue integrable)하다고 한다.