단순함수

정의

가측집합 $E\subset \mathbb{ℝ}$에서 정의된 함수 $f:E\to \mathbb{ℝ}$에 대해, 서로소이고 $\bigcup _{i=1}^n{E}_i=E$인 가측집합 $E_1,\dots ,E_n$과 실수 $a_1,\dots ,a_n$이 존재해

$f(x)=a_i,x\in E_i,1\le i\le n$

이면 $f$를 단순함수(simple function)라고 한다. 단순함수를 지시함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$f(x)=\sum _{i=1}^n{a}_i{\mathbf{𝟏}}_{E_i}(x)$

예시

Example — 다음은 단순함수의 예시이다.

• 임의의 계단함수는 단순함수이다.
• 가측집합에서 정의된 임의의 지시함수는 단순함수이다.

성질

Theorem — 두 단순함수의 합과 곱은 단순함수이다.

단순함수의 적분

단순함수의 표준표현(canonical representation)은

$\phi =\sum _{i=1}^n{a}_i{\mathbf{𝟏}}_{A_i}$

와 같이 나타난다. 이때 $a_1,\dots ,a_n$은 영이 아닌 서로 다른 실수이고, $A_i=\{x:\varphi (x)=a_i\}$이다. 이때 $\phi$의 적분을

$\int \phi =\sum _{i=1}^n{a}_{i}m(A_i)$

으로 정의하자. 그러면 $E_1,\dots ,E_n$이 $m(E_i)<\mathrm{\infty }$이고 서로소인 가측집합일 때, $\phi =\sum _{i=1}^n{a}_i{\mathbf{𝟏}}_{E_i}$이면

$\int \phi =\sum _{i=1}^n{a}_{i}m(E_i)$

을 얻는다.

가측집합 $E$에 대해 $m(E)<\mathrm{\infty }$이고 $f:E\to \mathbb{ℝ}$이 유계인 함수일 때, $\underset{\psi \ge f}{\inf }\underset{E}{\int }\psi$를 상르베그 적분(upper Lebesgue integral), $\underset{\phi \le f}{\sup }\underset{E}{\int }\phi$를 하르베그 적분(lower Lebesgue integral)이라고 한다. $f$의 상르베그 적분과 하르베그 적분이 같으면 르베그 적분가능(Lebesgue integrable)하다고 한다.