라플라스 방정식

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다변수함수 에 대한 편미분방정식

라플라스 방정식(Laplace equation)이라 하고, 라플라스 방정식을 만족하는 함수를 조화함수(Harmonic function)라고 한다.

1 공식

1.1 3차원 좌표계[1]

  • 직각좌표계:

  • 원통좌표계:

  • 구면좌표계:

1.2 2차원 좌표계

  • 직각좌표계:

  • 극좌표계:

2 방정식의 일반해

2.1 2차원 직각좌표계

라플라스 방정식

을 변수분리법으로 풀자. 함수 에 대해

라고 가정하자. 그러면 라플라스 방정식은

로 주어진다. 양변을 로 나누면

를 얻는다. 그러면

가 존재한다. 따라서 다음 이계미분방정식을 얻는다.

  • 이면, 가 존재한다. 따라서 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다. (단, 는 상수)
  • 이면 이므로 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.
  • 이면 일 때와 비슷한 방법으로 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

3 경계값 문제

에서 경계값 문제

를 만족하는 영이 아닌 함수 를 구하자.

일 경우,

이다.

인데 이면 이므로 이다.

인데 이면 이므로 이다.

인데 또는 이다. 어느 경우든 또는 이므로 일 수 없다.

일 경우,

이다.

인데 이면 이므로 이다.

인데 이면 이므로 이다.

인데 또는 이다. 어느 경우라도 또는 이므로 일 수 없다.

일 경우,

이다.

인데 이면 이므로 이다.

인데, 이면 이므로 이다.

이므로 또는 또는 이다. 따라서 자연수 n에 대해 이다. 따라서

는 경계값 문제의 해이다. 이제 를 상수 에 대해

로 나타낼 수 있다. 그러면

인데,

이고 양변을 0에서 b까지 정적분하면

를 얻는다.[2]

4 등장 시점

4.1 열확산방정식

T에 대해, 시간에 따른 열방정식

으로 주어진다. 만약 정상 상태에 있을 경우, 이므로

이 되어 라플라스 방정식을 얻는다.[3]

5 같이 보기

6 참고문헌

  1. Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion (2011). 강석태 옮김. 『일반역학』(제5판). Cengage Learning. pp. 678-681. ISBN 9788962183009
  2. Braun, M. (1975). Differential equations and their applications: An introduction to applied mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387978941
  3. Stephen J. Blundell · Katherine M. Blundell (2010). Concepts in Thermal Physics (2nd ed.) Oxford University Press. ISBN 9780199562107