르베그 측도

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1 정의

임의의 집합 에 대해

외측도라고 정의했다. 가 주어졌을 때, 임의의 집합 에 대해

이면 르베그 가측가능(Lebesgue measurable), 또는 간단히 가측가능하다고 한다. 을 모든 가측집합의 모임이라 할 때, 함수 로 정의하면, 르베그 측도함수(Lebesgue measure function)라 하고, 르베그 측도(Lebesgue measure) 또는 간단히 측도(measure)라고 한다.

2 예시

  • 은 가측집합이다.
  • 가산집합은 가측집합이고 그 측도는 이다.
  • 외측도가 0인 집합은 가측집합이다.
  • 칸토어 집합의 측도는 0이고 가측집합이다.
  • 임의의 보렐 집합은 가측집합이다.

3 성질

Theorem — 가 가측집합일 때, 다음 집합은 가측집합이다.

Theorem — 서로소인 가측집합이면 이다.

Theorem — 가 서로소인 가측집합렬일 때, 는 가측집합이고 이다.

Theorem — 가 가측집합이면 임의의 에 대해 는 가측집합이고 이다.