르베그 측도

정의

임의의 집합 $E\subset \mathbb {R}$에 대해

$m^{*}(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}-b_{i}|:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} ,E\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }(a_{i},b_{i})\right\}$

을 외측도라고 정의했다. $E$가 주어졌을 때, 임의의 집합 $A$에 대해

$m^{*}(A)=m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})$

이면 $E$는 르베그 가측가능(Lebesgue measurable), 또는 간단히 가측가능하다고 한다. ${\mathcal {M}}$을 모든 가측집합의 모임이라 할 때, 함수 $m:{\mathcal {M}}\to \mathbb {R}$을 $m(E)=m^{*}(E)$로 정의하면, $m$을 르베그 측도함수(Lebesgue measure function)라 하고, $m(E)$를 $E$의 르베그 측도(Lebesgue measure) 또는 간단히 측도(measure)라고 한다.

예시

• $\emptyset ,\mathbb {R}$은 가측집합이다.
• 가산집합은 가측집합이고 그 측도는 영이다.
• 외측도가 0인 집합은 가측집합이다.
• 칸토어 집합의 측도는 0이고 가측집합이다.
• 임의의 보렐 집합은 가측집합이다.

성질

Theorem — $E,E'$가 가측집합일 때, 다음 집합은 가측집합이다.

• $E^{c}$ (여집합)
• $E\cup E'$ (합집합)
• $E\cap E'$ (교집합)
• $E\setminus E'$ (차집합)
• $E\Delta E'$ (대칭차집합)

Theorem — $E_{1},\dots ,E_{n}$이 서로소인 가측집합이면 $m\left(\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}m(E_{i})$이다.

Theorem — $\{E_{i}\}$가 서로소인 가측집합렬일 때, $\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}$는 가측집합이고 $m\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }m(E_{i})$이다.

Theorem — $E$가 가측집합이면 임의의 $y\in \mathbb {R}$에 대해 $E+y$는 가측집합이고 $m(E+y)=m(E)$이다.