린델뢰프 공간

정의

위상공간 $X$의 임의의 열린 덮개가 가산 부분덮개를 가지면, $X$를 린델뢰프 공간(Lindelöf space)이라 한다.

예시

Example — 아래끝 위상이 주어진 실수선 ${\mathbb{ℝ}}_l$은 린델뢰프 공간이다. 그러나 조르겐프라이 평면 ${\mathbb{ℝ}}_l\times {\mathbb{ℝ}}_l$은 린델뢰프 공간이 아니다.

Non-Example — 무어 평면은 린델뢰프 공간이 아니다.

Theorem — 임의의 제2가산공간은 린델뢰프 공간이다. 역은 성립하지 않는다.

성질

Theorem — 린델뢰프 공간 $X$가 콤팩트공간일 필요충분조건은 $X$가 가산콤팩트공간인 것이다.

Proof

콤팩트공간이 가산콤팩트공간임은 자명하므로, $X$가 가산콤팩트공간이라 가정하자. $X$의 열린 덮개 ${𝒪}$는 $X$가 린델뢰프 공간이므로 가산 부분덮개 ${{𝒪}}^{\prime }$를 가진다. 그러면 $X$가 가산콤팩트공간이므로 ${{𝒪}}^{\prime }$는 유한 부분덮개 ${{𝒪}}^{″}$를 가진다. ${{𝒪}}^{″}$는 ${𝒪}$의 유한 부분덮개이므로, $X$는 콤팩트공간이다.

Theorem — 린델뢰프 성질은 위상적 성질이다.

Proof

$f:X\to Y$를 린델뢰프 공간 $X$가 정의역이고 위상공간 $Y$가 공역인 위상동형사상이라 하자. $Y$의 열린 덮개 하나를 골라 ${𝒪}=\{O_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$라 하자. 그러면 임의의 $\alpha \in I$에 대해 $f$가 연속함수이므로 $f^{-1}(O_{\alpha })$는 열린집합이고, $\{f^{-1}(O_{\alpha }){\}}_{\alpha \in I}$는 $X$의 열린덮개이다. $X$가 린델뢰프 공간이므로, $\{f^{-1}(O_{\alpha }){\}}_{\alpha \in I}$는 부분덮개 $\{f^{-1}(O_i){\}}_{i\in \mathbb{\mathbb{N}}}$를 가진다. 그러면

구문 분석 실패 (알 수 없는 함수 "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} \bigcup_{i=1}^{\infty} O_i&=\bigcup_{i=1}^{\infty} f(f^{-1}(O_i))&(\because\text{$f$ is surjective)}\\ &=f\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}(f^{-1}(O_i))\right)\\ &=f(X)\\ &=Y \end{align}}

이므로 $\{O_i{\}}_{i\in \mathbb{\mathbb{N}}}$은 ${𝒪}$의 가산 부분덮개이다. 따라서 $Y$는 린델뢰프 공간이다.

Theorem — 린델뢰프 성질은 계승적 성질이 아니지만, 린델뢰프 공간의 닫힌 부분공간은 린델뢰프 공간이다.

Theorem — 린델뢰프 공간의 몫공간은 린델뢰프 공간이다.

Proof

${𝒪}=\{O_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$를 $X$의 몫공간 $X/\sim$의 열린 덮개라 하자. 그러면 몫사상 $q:X\to X/\sim$가 연속함수이므로, $q^{-1}(O_{\alpha })$는 열린집합이고 따라서 $\{q^{-1}(O_{\alpha }){\}}_{\alpha \in I}$는 $X$의 열린 덮개이다. $X$가 린델뢰프 공간이므로, $\{q^{-1}(O_{\alpha }){\}}_{\alpha \in I}$는 가산 부분덮개 $\{q^{-1}(O_i){\}}_{i\in \mathbb{\mathbb{N}}}$을 가진다. $q$가 위로의 함수이므로,

$\begin{array}{rl}X/\sim & =q(X)\\ & =q(\bigcup _{i\in \mathbb{\mathbb{N}}}{q}^{-1}(O_i))\\ & =\bigcup _{i\in \mathbb{\mathbb{N}}}q(q^{-1}(O_i))\\ & =\bigcup _{i\in \mathbb{\mathbb{N}}}{O}_i\end{array}$

이다. 그러므로 $\{O_i{\}}_{i\in \mathbb{\mathbb{N}}}$는 ${𝒪}$의 가산 부분덮개이고 따라서 $X/\sim$은 린델뢰프 공간이다.

Theorem — 정칙 린델뢰프 공간은 정규공간이다.

Theorem — 린델뢰프 공간의 비가산 부분집합은 극한점을 가진다.

Proof

귀류법을 이용해 증명한다. 린델뢰프 공간 $X$의 비가산 부분집합 $A$가 극한점을 가지지 않는다고 가정하자. 그러면 임의의 $x\in X$에 대해, $x$를 포함하고 $x$가 아닌 $A$의 원소를 포함하지 않는 열린집합 $O_x$가 존재한다. 그러면 $\{O_x:x\in X\}$는 $X$의 열린 덮개인데, $X$가 린델뢰프 공간이므로 $\{O_x:x\in X\}$의 가산 부분덮개 $\{O_{x_i}:x_i\in X,i\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$가 존재한다. $\{O_{x_i}\cap A:x_i\in X,i\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$는 $A$의 열린덮개인데, $|O_{x_i}\cap A|$가 유한이므로 $|A|$도 기껏해야 가산이다. 이는 $A$가 비가산집합이라는 가정과 모순이다. 따라서 $A$는 극한점을 가진다.