미분방정식

최근 편집: 2022년 12월 24일 (토) 04:36

미분방정식은 도함수함수, 원래 함수의 변수의 관계를 나타낸 방정식이다.

독립 변수가 하나인 경우를 상미분방정식(ODE), 여럿인 경우를 편미분방정식(PDE)라고 한다.

차수가 1이면 선형미분방정식, 그렇지 않으면 비선형미분방정식이라고 한다. 선형미분방정식에는 미지함수나 미지함수의 (n계) 도함수를 서로 곱한 항이 존재하지 않는다.

근사해법

미분방정식의 근사적인 수치해법을 구하는 것을 수치미분방정식이라고 한다. 수치미분방정식은 수치상미분방정식과 수치편미분방정식으로 나뉜다.

상미분방정식의 근사해법은 양해법(explicit method, 명시적 방법, 양함수적 방법)과 음해법(implicit method, 암시적 방법, 양함수적 방법)으로 나뉜다. 양해법은 현재 t라는 시점에서의 계의 정보(변수, 함수, 도함수 등)를 기준으로 Δt만큼 지난 시점의 계의 정보를 계산하는 방법이고, 음해법은 아직 알고 있지 않은 t+Δt 시점의 계의 정보가 현재 계의 상태와 맞도록 미지의 t+Δt 시점의 계의 정보에 대해 방정식을 푸는 방법이다.

양해법은 계산이 간단하지만 발산하기 쉽고, 음해법은 계산이 어렵지만 발산하기 어렵다.

양해법과 음해법을 평균내어 절충한 심플렉틱(symplectic) 방법도 존재한다.