를 완비거리공간 에서 정의된 축약사상이라 하자. 가 축약사상이므로, 수열 에 대해
인 가 존재한다. 그러면 인 임의의 자연수 에 대해
이다. 임의의 에 대해 이거나 이면 , 이고 이면 인 자연수 을 선택할 수 있다. 그러면 일 때 을 얻으므로, 은 코시 수열이다. 가 완비거리공간이므로, 은 위의 점 으로 수렴한다. 축약사상은 연속함수이므로,
이고, 따라서 은 의 부동점이다. 이제 의 부동점이 유일함을 보이자. 의 부동점을 라 하자. 그러면
이므로 이다. 이므로 이고, 따라서 이다.