베르누이 부등식

베르누이의 부등식은 실수해석학에서 다루는 부등식으로, 다른 부등식의 증명 과정 중 어려운 부분이 있을 때 자주 쓰인다.

진술

Theorem — 임의의 양의 정수 $n$과 실수 $x\geq -1$에 대해 $(1+x)^{n}\geq 1+nx$이다.

증명

여러 가지 방법으로 베르누이 부등식을 증명할 수 있다.

수학적 귀납법을 이용

• $n=1$일 때 $1+x\geq 1+x$이므로 부등식이 성립한다.
• $n=k$일 때 부등식이 성립한다고 가정하자. 그러면 $(1+x)^{k+1}\geq (1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^{2}\geq 1+(k+1)x$이므로 $n=k+1$일 때 부등식이 성립한다.

따라서 수학적 귀납법에 의해 원하는 결론을 얻는다.

산술-기하평균 부등식을 이용

$-1\leq x\leq -{\frac {1}{n}}$이면 $(1+x)^{n}\geq 0\geq 1+xn$임은 자명하다.$x>-{\frac {1}{n}}$이면 $1+nx>0$이므로, 산술-기하평균 부등식에 의해

$1+x={\frac {(1+nx)+\sum _{i=1}^{n-1}1}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{1+nx}}$

이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.

일반화

정리 1. 임의의 $x>-1$에 대해,

• $\alpha >1$이거나 $\alpha <0$이면 $(1+x)^{\alpha }\geq 1+\alpha x$이다.
• $0<\alpha <1$이면 $(1+x)^{\alpha }\leq 1+\alpha x$이다.

Proof

함수 $f:(-1,\infty )\to \mathbb {R}$를 $f(x)=(1+x)^{\alpha }-(1+\alpha x)$로 정의하자.

• $\alpha >1$이거나 $\alpha <0$일 때: $f'(x)=\alpha \left((1+x)^{\alpha -1}-1\right)$이므로 $f$는 $x=0$에서 극값을 가지는데, $f''(x)=\alpha (\alpha -1)(1+x)^{\alpha -2}$이므로 $f''(0)=\alpha (\alpha -1)>0$이다. 따라서 $f(0)=0$이 $f$의 극솟값이자 최솟값이므로 $f(x)\geq 0$이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.
• $0<\alpha <1$일 때: $f''(0)=\alpha (\alpha -1)<0$이므로 $f(0)=0$은 $f$의 극댓값이자 최댓값이 된다. 따라서 $f(x)\leq 0$이고 원하는 결론을 얻는다.

정리 2.

• 임의의 $i=1,\dots ,n$에 대해 $a_{i}\geq 0,x_{i}>-1$이며 $\sum _{i=1}^{n}a_{i}\leq 1$이라면, $\prod _{i=1}^{n}(1+x_{i})^{a_{i}}\leq 1+\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$이다.
• 임의의 $i=1,\dots ,n$에 대해 $a_{i}\geq 1$ 또는 $a_{i}\leq 0$이고, $x_{i}>0$ 또는 $-1<x_{i}<0$이면, $\prod _{i=1}^{n}(1+x_{i})^{a_{i}}\geq 1+\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$이다.