부분공간위상

정의

정의 1. 위상공간 $(X,{\mathcal {T}})$의 부분집합을 $A$라 하자. 이때 ${\mathcal {T}}'$을

${\mathcal {T}}'=\{O\cap A:O\in {\mathcal {T}}\}$

와 같이 정의하면, ${\mathcal {T}}'$은 $A$의 위상이다. 이때 ${\mathcal {T}}'$를 $A$의 부분공간위상(subspace topology) 또는 상대위상(relative topology)이라 하고, ${\mathcal {T}}'$의 원소를 $A$의 상대적 열린집합(relatively open set) 또는 간단히 열린집합이라 하며, $(A,{\mathcal {T}}')$는 $(X,{\mathcal {T}})$의 부분공간(subspace)이라 한다.

성질

정리 2. 위상공간 $X$의 부분공간 $A$에 대해 다음이 성립한다:

• $A$가 열린집합이면, $A$의 상대적 열린집합은 $X$의 열린집합이다.
• $A$가 닫힌집합이면, $A$의 상대적 닫힌집합은 $X$의 닫힌집합이다.
• $f:X\to Y$가 연속함수이면, $f$의 제한 $f|_{A}:A\to Y$는 연속함수이다.

계승적 성질

정의 3. 위상공간 $X$에서 성질 $P$가 성립하면 $X$의 임의의 부분공간에서도 $P$가 성립할 때 $P$를 계승적 성질(hereditary property)이라고 한다. 만약 $X$에서 성질 $P$가 $X$의 임의의 열린 부분공간에서 성립하면 열린 계승적 성질(open-hereditary property) 또는 애매한 계승적 성질(vaguely hereditary property), $X$의 임의의 닫힌 부분공간에서 성립하면 닫힌 계승적 성질(closed-hereditary property) 또는 약한 계승적 성질(weakly hereditary property)이라고 한다.

예 4. 다음은 위상공간에서 자주 언급되는 성질이 계승적 성질인지 확인하는 표이다.

성질	계승적 성질인가?	열린 계승적 성질인가?	닫힌 계승적 성질인가?
제1가산	O	O	O
제2가산	O	O	O
분해가능	X	O	X
T0	O	O	O
T1	O	O	O
T2	O	O	O
T2½	O	O	O
T3	O	O	O
T3½	O	O	O
T4	X		O
연결	X	X	X
전비연결	O	O	O
경로연결	X	X	X
국소연결	X	O	X
국소경로연결	X	O	X
콤팩트	X	X	O
가산콤팩트	X	X	O
린델뢰프	X	X	O
극한점콤팩트	X		O
국소콤팩트	X		O
파라콤팩트	X		O