싱마스터의 추측

싱마스터의 추측(Singmaster's conjecture)은 데이비드 싱마스터가 1971년 제시한 추측이다.

진술

Statement — $N(a)$를 $a$를 이항계수로 나타내는 경우의 수로 정의하자. 그러면 $N(a)=O(1)$이다.

이때 $O(1)$은 대문자 O 표기법을 이용한 것이다.

예시

• $N(1)=\infty$
• $N(2)=1$
• $N(3)=N(4)=N(5)=2$
• $N(6)=3$
• $N(120)=N(210)=N(1540)=N(7140)=N(11628)=N(24310)=6$
• $N(3003)=8$

성과

경계

싱마스터는 1971년 다음을 증명하였다.

$N(a)=O(\ln a)$

Abbott, Erdős, Hanson(1974)

$N(a)=O\left({\frac {\ln a}{\ln \ln a}}\right)$

Kane(2004)

$N(a)=O\left({\frac {\ln a(\ln \ln \ln a)}{(\ln \ln a)^{2}}}\right)$

Kane(2007)

$N(a)=O\left({\frac {\ln a(\ln \ln \ln a)}{(\ln \ln a)^{3}}}\right)$

Lind(1968), Singmaster(1975)는 방정식

${\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n+2}{k}}$

의 해가 무수히 많고 그 해가

$n=f_{2i+2}f_{2i+3}-1,k=f_{2i}f_{2i+3}-1$

임을 보였다. 이때 $\{f_{i}\}$는 피보나치 수열이다. 이는 $N(a)\geq 6$인 $a$가 무수히 많음을 의미한다.