역함수

함수 $f:A\to B$에 대해 역관계 $f^{-1}$이 함수라면, $f^{-1}$을 역함수(inverse function)라고 한다.

존재 조건과 유일성

• (존재 조건) 함수 $f:A\to B$가 일대일 대응인 것은 $f$의 역함수가 존재한다는 것과 동치이다.

$(\Longrightarrow )$ $f$가 일대일대응이라고 가정하자. 그리고 $f$의 역관계를 $g$라고 하자. $B$의 임의의 원소 $b$에 대해 $f$가 위로의 함수이므로 $(a,b)\in f$인 $a\in A$가 존재한다. 그러면 역관계의 정의에 의해 $(b,a)\in g$이다. 즉 임의의 $b\in B$에 대해 $(b,a)\in g$인 $a\in A$가 존재한다고 말할 수 있다.

이제 $A$의 임의의 원소 $a_{1},a_{2}$에 대해 $(b,a_{1})\in g,(b,a_{2})\in g$라고 가정하자. 그러면 $(a_{1},b)\in f$이고 $(a_{2},b)\in f$이다. 그런데 $f$가 일대일 함수이므로 $a_{1}=a_{2}$이다.

따라서 $g$는 함수이므로 $f$의 역함수는 존재한다.

$(\Longleftarrow )$ $f$의 역함수가 존재한다고 가정하고 $g$라고 표기하자. $(x_{1},y)\in f,(x_{2},y)\in f$이면 $(y,x_{1})\in g,(y,x_{2})\in g$이다. $g$가 함수이므로 $x_{1}=x_{2}$이다. 따라서 $f$는 일대일 함수이다. 또한 임의의 $b\in B$에 대해 $g$가 함수이므로 $(b,a)\in g$인 $a\in A$가 존재하고, 따라서 임의의 $b\in B$에 대해 $(a,b)\in f$인 $a\in A$가 존재한다고 말할 수 있다. 따라서 $f$는 위로의 함수이다.

$f$가 일대일 함수이고 위로의 함수이므로, $f$는 일대일 대응이다.

• (유일성) 함수 $f$의 역함수가 존재한다면 유일하다.

함수 $f$의 두 역함수를 $g_{1},g_{2}$라고 하자. $i_{A}:A\to A,i_{B}=B\to B$를 항등함수라고 하면

$g_{1}=g_{1}\circ i_{B}=g_{1}\circ (f\circ g_{2})=(g_{1}\circ f)\circ g_{2}=i_{A}\circ g_{2}=g_{2}$

이다.

예시

• $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$이 $f(x)=2x$로 정의되었을 때, $f^{-1}(x)={\frac {1}{2}}x$

같이 보기

• 역함수 정리