연결공간

정의

위상공간 $X$가 공집합이 아니고 서로소인 두 열린집합의 합집합이면 $X$를 비연결공간(disconnected space)이라고 한다. 비연결공간이 아닌 공간을 연결공간(connected space)이라고 한다.

Theorem — 다음 명제는 모두 동등하다.

• $X$는 비연결공간이다.
• $X$는 서로소이고 공집합이 아닌 두 닫힌집합의 합집합이다.
• $X$는 두 분리된 집합의 합집합이다.
• $X$가 정의역이고 이산공간 $\{a,b\}$가 치역인 위로의 연속함수가 존재한다.
• $X$의 열리고 닫힌 진부분집합이 존재한다.
• ${\overline {A}}\cap {\overline {X\setminus A}}=\emptyset$인 $X$의 진부분집합 $A$가 존재한다.

예시

Example — 다음은 연결공간의 예시이다.

• $\mathbb {R}$은 연결공간이다.
• 임의의 비이산공간은 연결공간이다.
• 위상수학자의 사인곡선은 연결공간이다.

Non-Example — 다음은 비연결공간의 예시이다.

• 원소의 개수가 둘 이상인 이산공간은 비연결공간이다.
• $\mathbb {R}$의 부분공간인 $\mathbb {Q}$는 비연결공간이다.

성질

Theorem — 연결성은 위상적 성질이다. 더 나아가, 연결성은 연속불변(continuous invariant)이다.

Theorem — $X$의 부분공간 $Y$가 연결공간이면, ${\overline {Y}}$는 연결공간이다.

Theorem — $Y$가 $X$의 연결부분공간이고 $X$의 부분공간 $Z$에 대해 $Y\subset Z\subset {\overline {Y}}$이면, ${\overline {Z}}$는 연결공간이다.

관련 공간

전비연결공간

위상공간의 부분집합 $C$가 연결집합이고 다른 부분연결집합의 부분집합이 아니면 $C$를 $X$의 성분(component)이라고 한다. 위상공간의 임의의 성분이 한원소집합이면 전비연결공간(totally disconnected space)이라고 한다.

경로연결공간

위상공간의 임의의 원소 $a,b$에 대해 $a$를 시점으로 하고 $b$를 종점으로 하는 경로가 존재하면 그 위상공간을 경로연결공간(path connected space)이라고 한다. 임의의 경로연결공간은 연결공간이다.

국소연결공간

위상공간의 원소 $p$를 포함하는 임의의 열린집합이 $p$를 포함하는 연결열린집합을 포함하면 $p$에서 국소연결(locally connected at a point $p$)되었다고 한다. 위상공간이 임의의 점에서 국소연결되면 그 위상공간을 국소연결공간(locally connected space)이라고 한다.

같이 보기

• 절단점