완비거리공간

정의

거리공간 $(X,d)$ 의 임의의 코시 수열이 $X$ 의 점으로 수렴하면, $(X,d)$ 를 완비거리공간(complete metric space)이라 한다.

예시

$\mathbb {R}$ 은 완비거리공간이다. 일반적으로 $\mathbb {R} ^{n}$ 은 완비거리공간이다.
닫힌구간 $[a,b]$ 는 완비거리공간이다. 그러나 열린구간이나 반열림구간 $[a,b),(a,b],(a,b)$ 는 완비거리공간이 아니다. 예를 들어, $x_{n}={\frac {1}{n}}$ 으로 정의된 수열 $\{x_{n}\}$ 은 $(0,2)$ 위의 점으로 수렴하지 않는다.
힐베르트 공간은 완비거리공간이다.
$\mathbb {Q}$ 는 완비거리공간이 아니다. 예를 들어, 피보나치 수열 $\{F_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ 에 대해 $\varphi _{n}=F_{n+1}/F_{n}$ 으로 정의하면 $\{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ 는 황금비로 수렴하는데, 황금비는 무리수임이 알려져 있다. 또한, 수열 $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ 의 점화식이 $x_{1}=1,\quad x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}$ 으로 주어지면, $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ 은 ${\sqrt {2}}$ 로 수렴한다.
임의의 이산거리공간은 완비거리공간이다.

성질

Theorem — 완비거리공간의 부분공간이 완비거리공간일 필요충분조건은 부분공간이 닫혀 있는 것이다.

Proof

완비거리공간 $(X,d)$ 의 부분공간을 $A$ 라 하자. 먼저 $A$ 가 완비거리공간이라 가정하자. $A$ 가 닫혀 있음을 보이기 위해 $A$ 의 임의의 극한점이 $A$ 의 원소임을 보일 것이다. $x$ 를 $A$ 의 극한점이라 하면 항이 서로 다르고 $x$ 로 수렴하는 $A$ 의 수열이 존재한다. 수렴하는 수열은 코시 수열이고 $A$ 가 완비되었으므로, 수열의 극한값인 $x$ 는 $A$ 의 원소이다.

이제 $A$ 가 닫힌집합이라 가정하자. $\{x_{n}\}$ 을 $A$ 의 코시 수열이라 하자. $X$ 가 완비거리공간이므로, $\{x_{n}\}$ 은 $X$ 의 한 점으로 수렴한다. 이 점을 $x$ 라 하자. 그러면 $x$ 는 $A$ 의 극한점이고 $A$ 가 닫힌집합이므로 $x\in {\overline {A}}=A$ 이다. 따라서 $A$ 는 완비거리공간이다.

베어 카테고리 정리(Baire Category Theorem) — 임의의 완비거리공간은 베어 공간이다.

바나흐 부동점 정리(Banach Fixed-point Theorem) — 완비거리공간에서 정의된 축약사상의 부동점은 유일하다.

칸토어의 교집합 정리(Cantor's Intersection Theorem) — $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ 이 완비거리공간에서 정의된, 공집합이 아닌 닫힌 축소집합열이고 $\lim _{n\to \infty }D(A_{n})=0$ 이면, $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}$ 의 원소는 유일하다. 이때 $D$ 는 집합의 지름이다.

Theorem — 고립점이 없는 완전거리공간은 비가산집합이다.

완비화

거리공간 $X^{*}$ 가 완비거리공간이고 거리공간 $X$ 에서 $X^{*}$ 의 조밀집합으로의 등거리변환이 존재하면 $X^{*}$ 를 $X$ 의 완비화(completion)라고 한다.

완비성은 위상적 성질이 아니다

Example — 거리공간의 완비성은 위상적 성질이 아니다. 즉, 완비거리공간이 완비가 아닌 거리공간과 위상동형일 수 있다. $\mathbb {R}$ 은 $(0,1)$ 과 위상동형이지만, $\mathbb {R}$ 은 완비거리공간이고 $(0,1)$ 은 완비거리공간이 아니다.

Example — 거리공간의 완비성은 $X$ 의 두 거리가 동등한 것과는 관계가 없다. $X=\left\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}$ 의 거리 $d,d'$ 를 $d(x,y)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x\neq y\\0,&{\text{if }}x=y\end{cases}}$ , $d'(x,y)=|x-y|$ 로 정의하면 $d$ 와 $d'$ 는 동등함에도 불구하고, $(X,d)$ 는 완비거리공간이지만 $(X,d')$ 는 그렇지 않다.