외측도

실수계에서 구간의 길이부터 시작하여 열린집합과 닫힌집합의 길이를 정의할 수 있으나, 길이의 개념을 모든 집합으로 일반화하려고 한다. 이때 실수계의 모든 집합의 모임을 정의역으로 삼고 함숫값이 확장된 실수인 함수 $m$ 이 다음과 같은 네 가지 성질을 만족하기를 기대한다.

임의의 $E\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ 에 대해 $m(E)$ 가 정의된다.
$I$ 가 구간이면 $m(I)=l(I)$ 이다.
가산가법성: $\{E_{i}\}$ 가 서로소인 집합열이면 $m\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }m(E_{i})$ 이다.
평행변환불변성(translation invariance): $y$ 가 임의의 고정된 실수일 때 $m(E+y)=m(E)$ 이다.

그러나 연속체 가설을 가정한다면 네 가지 성질을 모두 만족하는 함수는 없다. 그러므로 적어도 하나의 조건이 완화될 필요가 있는데, 외측도(outer measure)는 가산가법성을 약화한 개념이다.

정의

임의의 집합 $E\subset \mathbb {R}$ 에 대해

$m^{*}(E)=\inf \sum _{i}l(I_{i})$

를 르베그 외측도(Lebesgue outer measure), 또는 간단히 외측도(outer measure)라고 한다. 이때 $\{I_{i}\}$ 는 $E$ 를 덮는, 즉 $E\subset \bigcup _{i}I_{i}$ 를 만족하는 가산 개의 열린구간의 모임이다.

성질

임의의 집합 $A$ 에 대해 $m^{*}(A)\geq 0$ 이다. 특히 $m^{*}(\emptyset )=0$ 이다.
두 집합 $A,B$ 에 대해 $A\subset B$ 이면 $m^{*}(A)\leq m^{*}(B)$ 이다.

Proof

$B\subset \bigcup _{i}I_{i}$ 인 가산 개의 서로소인 열린집합의 모임 $\{I_{i}\}$ 가 존재하는데, $A\subset B$ 이므로 $A\subset \bigcup _{i}I_{i}$ 이고 따라서 $m^{*}(A)\leq \sum _{i}I_{i}$ 이다. 이 부등식은 임의의 $\{I_{i}\}$ 에 대해 성립하므로 $m^{*}(A)\leq \inf \sum _{i}I_{i}=m^{*}(B)$ 이다.

$A$ 가 가산집합이면 $m^{*}(A)=0$ 이다.
임의의 $x\in \mathbb {R}$ 에 대해 $m^{*}(A+x)=m^{*}(A)$ 이다.
구간의 외측도는 그 구간의 길이와 같다.
가산준가법성(Countable subadditivity): $\{E_{i}\}$ 이 가산 개의 집합의 모임이면 $m\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }m(E_{i})$ 이다. $\{E_{i}\}$ 이 서로소이어도 가산가법성이 성립하지는 않는다.