위상수학자의 사인곡선

정의

정의 1. $\mathbb {R} ^{2}$ 의 부분공간

$\{(0,y)\in \mathbb {R} ^{2}:-1\leq y\leq 1\}\cup \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=\sin {\frac {1}{x}},0<x\leq 1\right\}$

를 위상수학자의 사인곡선(Topologist's sine curve)이라고 한다.

연결성

정리 2. 위상수학자의 사인곡선은 연결공간이다.

Proof

집합

$B=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=\sin {\frac {1}{x}},0<x\leq 1\right\}$

는 $f(x)=\left(x,\sin {\frac {1}{x}}\right)$ 로 정의된 위로의 연속함수 $f:(0,1]\to B$ 의 상이고 $(0,1]$ 이 연결공간이며, 연결성은 연속불변이므로 $B$ 도 연결공간이다. 그러면 ${\overline {B}}$ 는 연결공간인데, 이는 위상수학자의 사인곡선이다.