일반항 판정법

일반항 판정법(term test)은 무한급수의 일반항이 0으로 수렴하는지 따져 무한급수의 발산 여부를 판정하는 방법이다.

진술

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 수렴하면 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$이다. 이때 $(a_n)$은 실수열이거나 복소수열이다.

증명

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 수렴하면 $S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$인 $S$가 존재한다. 그러면

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n{a}_k-\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n{a}_k-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k\\ & =S-S\\ & =0\end{array}$

이므로 원하는 결론을 얻는다.

예시

다음 급수는 일반항 판정법을 이용해 발산함을 알 수 있다.

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n$
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{n+1}$
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin \frac{n\pi }{4}$

일반항 판정법의 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 조화급수

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$

은 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$이지만 발산한다.