절단점

정의

연결공간 $X$의 원소 $x$에 대해 $X\setminus \{x\}$가 비연결공간이면 $x$를 $X$의 절단점(cut point)이라 한다. $X$의 임의의 원소가 절단점이면 $X$를 절단점 공간(cut point space)이라 한다.

예시

• $\mathbb {R}$의 임의의 원소는 절단점이다.
• 원 $S^{1}$의 임의의 원소는 절단점이 아니다.

성질

Theorem — 연결공간 $X,Y$와 위상동형사상 $f:X\to Y$이 주어졌을 때, $x$가 $X$의 절단점이면 $f(x)$는 $Y$의 절단점이다.

Theorem — 절단점 공간의 모든 닫힌 점의 집합은 무한집합이다.

기약 절단점 공간

절단점 공간의 임의의 진부분공간이 절단점 공간이 아니면 그 절단점 공간을 기약 절단점 공간(irreducible cut point space)이라고 한다. 정수 집합 $\mathbb {Z}$에서 ${\mathcal {B}}$를 다음과 같이 정의하자.

${\mathcal {B}}=\{\{2i-1,2i,2i+1\}:i\in \mathbb {Z} \}\cup \{\{2i+1\}:i\in \mathbb {Z} \}$

그러면 ${\mathcal {B}}$는 $\mathbb {Z}$의 기저이고, ${\mathcal {T}}$를 ${\mathcal {B}}$가 생성한 위상이라 하면 $(\mathbb {Z} ,{\mathcal {T}})$를 칼림스키 선(Khalimsky line)이라 한다. 위상공간 $X$가 기약 절단점 공간일 필요충분조건은 $X$가 칼림스키 선과 위상동형인 것임이 알려져 있다.