절대연속성

정의

정의 1. 함수 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$이 주어졌을 때, 임의의 $\epsilon >0$에 대해 $\delta >0$가 존재해 임의의 서로소인 유한집합족

$\left\{(x_{i},x_{i}'):i=1,\dots ,n,\sum _{i=1}^{n}|x_{i}'-x_{i}|<\delta \right\}$

에 대해

$\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i}')-f(x_{i})|<\epsilon$

이면 $[a,b]$에서 절대연속(absolutely continuous)이라고 한다.

성질

• 함수 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$가 절대연속이면 $[a,b]$에서 유계변동이고 립쉬츠 연속이다.
• 함수 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$가 절대연속이면 미분계수가 거의 어디서나 존재한다.
• 함수 $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$가 절대연속이면 $cf\;(c\in \mathbb {R} )$, $f+g$, $fg$, $f/g\;(g\neq 0)$은 모두 절대연속이다.
• 함수 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$이 절대연속이고 거의 어디서나 $f'=0$이면 $f$는 상수함수이다.

예시

예 2. $f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}&{\text{if }}0<x\leq 1\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$는 $[0,1]$에서 절대연속이 아니다.

예 3. $f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}&{\text{if }}0<x\leq 1\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$는 $[0,1]$에서 절대연속이다.

예 4. 일반적으로 양수 $\alpha ,\beta$가 주어졌을 때 ${\begin{cases}f(x)=x^{\alpha }\sin {\frac {1}{x^{\beta }}}&{\text{if }}0<x\leq 1\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$는 $\alpha >\beta$일 때 $[0,1]$에서 절대연속이지만 $\alpha \leq \beta$이면 절대연속이 아니다.

예 5. $f(x)={\sqrt {x}}$는 $[0,1]$에서 립쉬츠 연속이 아니지만 절대연속이다.

예 6. $f(x)=x+\varphi (x)$는 $[0,1]$에서 절대연속이 아니다. 이때 $\varphi$는 칸토어 함수이다.