집합 X {\displaystyle X} 와 그 부분집합 A {\displaystyle A} 에 대해, 함수 1 A : X → { 0 , 1 } {\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \{0,1\}} 을 다음과 같이 정의하자.
1 A ( x ) = { 1 , if x ∈ A 0 , if x ∉ A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x\in A\\0,&{\text{if }}x\notin A\end{cases}}}
1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}} 를 지시함수(indicator function) 또는 특성함수(characteristic function)라고 한다. I A {\displaystyle I_{A}} 나 χ A {\displaystyle \chi _{A}} 등으로 표기하기도 한다.
Theorem — X {\displaystyle X} 의 부분집합 A , B {\displaystyle A,B} 에 대해 다음이 성립한다.
Theorem — 집합열 { A n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }} 의 각 항이 서로소고 A = ⋃ n = 1 ∞ A n {\displaystyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}} 이면 1 A = ∑ n = 1 ∞ 1 A n {\displaystyle \mathbf {1} _{A}=\sum _{n=1}^{\infty }\mathbf {1} _{A_{n}}} 이다.
Theorem — 가측집합 E {\displaystyle E} 에서 정의된 지시함수 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}} 가 가측함수일 필요충분조건은 A {\displaystyle A} 가 가측집합인 것이다.
