집합론은 추상적인 대상들의 모음인 집합을 다루는 수학 이론이다. 단순히 어떤 조건을 만족하거나 여러 원소들이 모인 묶음을 집합이라고 정의하는것을 소박한 집합론(Naive Set Theory) 혹은 칸토어 집합론이라고 부른다. 이는 여러 베리의 역설이나 러셀의 역설등의 페러독스에 의해서 문제점이 발견되자 공리적 방법을 이용한 집합론이 탄생하게 된다.
베리의 역설
베리의 역설은 언어적 역설이라고도 불린다. 베리의 역설은 인간의 언어구조때문에 생기는 역설이다. 예를 들어, 한 집합 A 안에 15 글자로 표현 될 수 있는 숫자들을 모았다고 하자, 그러면 A 안에 들어가지 않는 가장 작은 숫자는 과연 집합 A 안에 들어갈까?
러셀의 역설
러셀의 역설은 논리구조때문에 생기는 역설이다. 집합 A를 다음과 같이 정의하자.
집합 A는 자기 자신이 원소가 아닌 집합들의 집합이다. 그러면 집합 A가 집합 A의 원소라고 한다면 집합 A는 집합 A의 원소가 아니게 된다. 하지만 이는 불가능하다. 마찬가지로 집합 A가 집합 A의 원소가 아니라면 집합 A는 집합 A에 포함된다. 하지만 이는 역시 불가능하다.
참고 문헌
- “Set theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Axiomatic set theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.