체

집합 $F$에 이항연산 $+,\cdot$가 주어졌을 때, $(F,+,\cdot )$가 다음 성질

1. 임의의 $x,y\in F$에 대해 $x+y=y+x$
2. 임의의 $x,y,z\in F$에 대해 $x+(y+z)=(x+y)+z$
3. $e\in F$가 존재해 임의의 $x\in F$에 대해 $x+e=x$
4. 임의의 $x\in F$에 대해 $x+y=e$인 $y\in F$가 존재
5. 임의의 $x,y\in F$에 대해 $x\cdot y=y\cdot x$
6. 임의의 $x,y,z\in F$에 대해 $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$
7. $e'\in F\setminus \{e\}$가 존재해 임의의 $x\in F$에 대해 $x\cdot e'=x$
8. 임의의 $x\in F\setminus \{e\}$에 대해 $x\cdot y=e'$인 $y\in F$가 존재
9. 임의의 $x,y,z\in F$에 대해 $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

을 만족하면 체(field)라고 한다. 이때 체에서 $e$와 $e'$는 유일하며, 각각 $0_{F}$와 $1_{F}$로 쓰기도 한다.

체를 다음과 같이 정의하기도 한다: $0_{F}\neq 1_{F}$이고 항등원이 있는 가환환 $F$가 다음 조건

영이 아닌 임의의 $a\in F$에 대해 $ax=1_{F}$인 $x\in F$가 존재한다.

를 만족하면 $F$를 체라고 한다.

예시

• 모든 유리수의 집합 $\mathbb {Q}$, 모든 실수의 집합 $\mathbb {R}$, 모든 복소수의 집합 $\mathbb {C}$는 체이다.
• 임의의 체 $F$에 대해 다항식환 $F[x]$는 체가 아니다.