정의 1. 위상공간 X {\displaystyle X} 와 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 에 대해 연속함수 F : X × [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle F:X\times [0,1]\to X} 가 존재해 임의의 x ∈ X , s ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in X,s\in [0,1]} 에 대해
F ( x , 0 ) = x , F ( x , 1 ) = x 0 , F ( x 0 , s ) = x 0 {\displaystyle F(x,0)=x,\quad F(x,1)=x_{0},\quad F(x_{0},s)=x_{0}}
이면 x 0 {\displaystyle x_{0}} 로 축약가능(contractible to a point x 0 {\displaystyle x_{0}} )하다고 하고, X {\displaystyle X} 를 축약가능공간(contractible space)이라 한다.
정리 2. 다음 명제는 동등하다.
예 3. 다음 공간은 축약가능공간이다.
정리 4. 임의의 축약가능공간은 경로연결공간이고 단순연결공간이다.
X {\displaystyle X} 를 축약가능공간이라 하자. 그러면 연속함수 F : X × [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle F:X\times [0,1]\to X} 와 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 가 존재해 임의의 x ∈ X , s ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in X,s\in [0,1]} 에 대해
이다. 먼저 X {\displaystyle X} 가 경로연결공간임을 보이기 위해, 함수 f x : [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle f_{x}:[0,1]\to X} 를
f x ( t ) = F ( x , t ) {\displaystyle f_{x}(t)=F(x,t)}
로 정의하자. 그러면 f x {\displaystyle f_{x}} 는 x {\displaystyle x} 에서 x 0 {\displaystyle x_{0}} 으로 가는 경로이다. 그러면 f x ∗ f y ¯ {\displaystyle f_{x}*{\overline {f_{y}}}} 는 x {\displaystyle x} 에서 y {\displaystyle y} 로 가는 경로임을 안다. 이제 X {\displaystyle X} 가 단순연결공간임을 보이자. [ α ] ∈ π 1 ( X , x 0 ) {\displaystyle [\alpha ]\in \pi _{1}(X,x_{0})} 에 대해, 함수 H : [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle H:[0,1]\times [0,1]\to X} 를
H ( t , s ) = F ( α ( t ) , s ) {\displaystyle H(t,s)=F(\alpha (t),s)}
로 정의하자. 그러면 H {\displaystyle H} 는 연속함수이고
H ( t , 0 ) = α ( t ) , H ( t , 1 ) = x 0 , H ( 0 , s ) = H ( 1 , s ) = x 0 {\displaystyle H(t,0)=\alpha (t),\quad H(t,1)=x_{0},\quad H(0,s)=H(1,s)=x_{0}}
이므로, c {\displaystyle c} 를 x 0 {\displaystyle x_{0}} 의 상수루프라 하면 H {\displaystyle H} 는 α {\displaystyle \alpha } 와 c {\displaystyle c} 사이의 경로호모토피이고, 그러므로 [ α ] = [ c ] {\displaystyle [\alpha ]=[c]} 이다. 따라서 π 1 ( X , x 0 ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})} 는 자명군이므로 원하는 결과를 얻는다.
를 축약가능공간이라 하자. 그러면 연속함수 ![{\displaystyle F:X\times [0,1]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00930f3e4f9e733d5819981419fb759b0faa3cea)
와 
가 존재해 임의의 ![{\displaystyle x\in X,s\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00718ab1bec29bb577f2e99899f83ccd44a05b9)
에 대해
가 경로연결공간임을 보이기 위해, 함수 ![{\displaystyle f_{x}:[0,1]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839b59a9e7f632d4adb0529c12c695e644f747fc)
를
는 
에서 
으로 가는 경로이다. 그러면 
는 에서 
로 가는 경로임을 안다. 이제 가 단순연결공간임을 보이자. ![{\displaystyle [\alpha ]\in \pi _{1}(X,x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16a813b82209cdacedc5b1abbd664d6fa427433)
에 대해, 함수 ![{\displaystyle H:[0,1]\times [0,1]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2d8af500c615e8cd4f406898a0a6a9f833402c)
를
는 연속함수이고
를 의 상수루프라 하면 는 
와 사이의 경로호모토피이고, 그러므로 ![{\displaystyle [\alpha ]=[c]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5897edf246ef85ed7ff7877185ee4c19f862f7)
이다. 따라서 
는 자명군이므로 원하는 결과를 얻는다.
