켤레 복소수

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수학에서, 켤레 복소수(-複素數, 영어: complex conjugate) 또는 공액 복소수(共軶複素數) 또는 복소 켤레 또는 공액 켤레복소수허수부에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수이다.

복소평면에서 편각덧셈 역원을 취하여 얻는 서로 켤레인 두 복소수는 x축에 의하여 대칭이다.

복소평면에서의 복소수 z와 그 켤레복소수 z

1 표기

복소수 의 켤레 복소수의 기호는 또는 이다. 켤레 복소수의 기호 켤레 전치의 기호 와의 혼동을 피하려고 할 때 선호된다. 켤레 복소수의 또 하나의 기호 물리학에서 자주 쓰이며, 이 경우 켤레 전치의 기호에는 흔히 를 사용한다.

따라서 어떤 복소수의 켤레 복소수는 다음과 같이 정의된다.

극 형식으로 쓰면 다음과 같다.

2 성질

2.1 항등식

켤레 복소수에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 임의의 복소수 에 대하여,

  • ( 자기 동형)
  • ( 자기 동형)
  • ( 자기 동형)
  • (대합)

2.2 켤레근 정리

정칙 함수 가 만약 를 만족시킨다면, 임의의 복소수 에 대하여, 가 성립한다. 특히, 인 경우, 만약 이라면 이다. 즉, 실수 계수 다항식의 허수 영점은 항상 켤레 복소수끼리 짝을 지어 나타난다. 이를 켤레근 정리(-根定理, 영어: complex conjugate root theorem)라고 한다.

2.3 체론적 성질

켤레 복소수 함수는 갈루아 군 의 유일한 비자명 원소이다.

2.4 복소평면에서

복소평면에서 서로 켤레인 두 복소수는 x축에 의하여 대칭이다.