정의
정의 1. 를 집합 의 부분집합이라 하자. 자기사상 가 다음 조건
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(1)
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(2)
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(3)
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(4)
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를 만족하면 를 위의 쿠라토프스키 폐포연산자(Kuratowski closure operator)라고 한다.
위상공간의 구성
쿠라토프스키 폐포연산자를 이용하여 집합에 위상을 부여할 수 있다.
정의 2. 위의 쿠라토프스키 폐포연산자 가 정의되었을 때, 의 부분집합 에 대해 이면 가 c-닫힌 집합이라고 한다. 만약 가 c-닫힌 집합이면 를 c-열린 집합이라고 한다.
정리 3. 과 는 c-닫혀 있다.
보조정리 4. 의 임의의 부분집합 에 대해 이면 이다.
Proof
(4)에 의해,
이므로 원하는 결론을 얻는다.
정리 5. 임의의 c-닫힌 집합의 교집합은 c-닫혀 있다.
Proof
의 c-닫힌 집합을 라 하면, (2)에 의해
임은 자명하다. 한편 임의의 에 대해
이므로 보조정리 4에 의해
이므로
이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.
정리 6. 임의의 유한 개 c-닫힌 집합의 합집합은 c-닫혀 있다.
정리 3, 5, 6으로부터 의 모든 c-열린 집합의 모임이 의 위상이 됨을 알 수 있다.
같이 보기