파투의 보조정리(Fatou's Lemma) — E ⊂ R {\displaystyle E\subset \mathbb {R} } 를 가측집합이라 하자. { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} 이 음이 아닌 가측함수 f n : E → R {\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} } 들의 함수열이고 E {\displaystyle E} 에서 f {\displaystyle f} 에 거의 어디서나 수렴하면, 다음 부등식이 성립한다:
∫ E f ≤ lim inf n → ∞ ∫ E f n . {\displaystyle \int _{E}f\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}.}
(증명을 적어주세요.)
Example — 함수 f n : R → R {\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } 을
f ( x ) = { 1 if x ∈ ( n , n + 1 ) 0 otherwise {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in (n,n+1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 으로 정의하면 f = 0 {\displaystyle f=0} 이므로
∫ R f = 0 < 1 = ∫ R f n {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f=0<1=\int _{\mathbb {R} }f_{n}}
이다.
Theorem — { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} 이 음이 아닌 가측실함수들의 함수열이면 다음 부등식이 성립한다:
∫ E lim inf n → ∞ f n ≤ lim inf n → ∞ ∫ E f n . {\displaystyle \int _{E}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}.}
Theorem — 측도공간 ( X , M , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {M}},\mu )} 에서 { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} 이 음이 아닌 가측함수 f n : X → R {\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} } 들의 함수열이고 X {\displaystyle X} 에서 가측함수 f {\displaystyle f} 에 거의 어디서나 수렴하면, 다음 부등식이 성립한다:
∫ X f ≤ lim inf n → ∞ ∫ X f n . {\displaystyle \int _{X}f\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}.}
을
으로 정의하면 
이므로
이 음이 아닌 가측실함수들의 함수열이면 다음 부등식이 성립한다:
