정의
<a href="/dok/집합">집합</a> <img title="G" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?G">와 <a href="/dok/연산">연산</a> <img title="\circ : G\times G \to G" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\circ&space;:&space;G\times&space;G&space;\to&space;G">가 다음 조건
- 임의의 <img title="a,b,c\in G" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a,b,c\in&space;G">에 대해 <img title="(a\circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a\circ&space;b)&space;\circ&space;c&space;=&space;a&space;\circ&space;(b&space;\circ&space;c)">이다. (<a href="/dok/결합법칙">결합법칙</a>)
- <img title="e \in G" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?e&space;\in&space;G">가 존재해 임의의 <img title="g\in G" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?g\in&space;G">에 대해 <img title="g \circ e = e \circ g = g" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?g&space;\circ&space;e&space;=&space;e&space;\circ&space;g&space;=&space;g">이다. (<a href="/dok/항등원">항등원</a>의 존재성)
- 임의의 <img title="g\in G" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?g\in&space;G">에 대해 <img title="g \circ x = x \circ g = e" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?g&space;\circ&space;x&space;=&space;x&space;\circ&space;g&space;=&space;e">인 <img title="x\in G" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x\in&space;G">가 존재한다. (<a href="/dok/역원">역원</a>의 존재성)
을 만족하면 <img title="(G,\circ)" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(G,\circ)">을 군(group)이라고 한다. 연산 <img title="\circ" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\circ">에 대한 교환법칙이 성립하면 아벨군(abelian group) 또는 가환군(commutative group)이라고 한다.