페미위키:포크 프로젝트/리브레 위키/공집합

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1 정의

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공집합은 아무것도 들어 있지 않은 빈 상자에 비유할 수 있다.

원소를 가지지 않는 집합공집합(empty set)이라고 한다. , ∅, 또는 으로 나타낸다. ∅와 기호는 1939년 수학자 집단인 니콜라 부르바키가 처음 사용했다고 알려져 있다.[1]

2 예시

  • 방정식 의 실근의 집합
  • (페르마의 마지막 정리)

3 존재성과 유일성

체르멜로-프렝켈 집합론에서는 존재공리(The axiom of existence)[2]

에 의해 공집합의 존재성을 보장받는다. 확장공리(The axiom of extensionality)

에 의해 공집합이 유일함을 증명할 수 있다.

AB를 공집합이라고 가정하자. 그러면 A의 임의의 원소는 B의 원소이며, 마찬가지로 B의 임의의 원소는 A의 원소임을 안다. (뭐?)[3] 따라서 확장공리에 의해 A=B이다.

공집합이 유일함을 보이는 형식적 증명
번호 정당화
1 가설: A는 공집합.
2 가설: B는 공집합.
3 확장공리
4 (1)에서 Universal instantiation
5 (2)에서 Universal instantiation
6 (4)에서 Negation introduction
7 (5)에서 Negation introduction
8 (6)과 (7)에서 Biconditional introduction
9 (8)에서 Universal generalization
10 (3)에서 Universal instantiation
11 (9)와 (10)에서 Modus ponens

4 자연수의 집합론적인 구성

공집합은 유일하다는 성질로 인해 자연수를 구성하는 데 사용되기도 한다. 예를 들어,

로 정의한다. 그러면

이므로, x의 계승자(successor) [4]

로 정의하자.틀:ㅊ 집합 I가 다음 조건

  • 이면 이다.

을 만족하면 I를 귀납적 집합(Inductive set)이라고 한다.[5] 그리고 임의의 귀납적 집합의 원소인 원소들의 집합을 자연수의 집합 이라고 하고, 자연수의 집합의 원소를 자연수라고 한다.

5 성질

임의의 집합 A에 대해,

  • 공집합은 A의 부분집합이다.
  • A가 공집합의 부분집합이면 A는 공집합이다.
  • 공집합과 A의 합집합은 A이다.
  • 공집합과 A의 교집합은 공집합이다.
  • 공집합과 A의 곱집합은 공집합이다.

는 존재하지 않는다. 만약 존재한다면, 다음 명제가 성립한다.

그러면 는 공진명제이므로 결국 임의의 x에 대해 이다. 따라서 모든 집합의 집합이 되므로 모순이다.

6 같이 보기

  1. Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic. 2015년 6월 11일에 확인.
  2. 공집합 공리(The axiom of empty set)라고도 한다.
  3. 실제로는 공진(vacuously true)인 문장이기 때문이다.
  4. 이때 + 기호는 절대 덧셈을 뜻하는 것이 아니다! 자연수의 덧셈을 정의하기 전까지는...
  5. 귀납적 집합의 존재성을 보장하기 위해서는 무한공리(The axiom of infinity)가 필요하다. 자세한 사항은 체르멜로-프렝켈 집합론을 참고하라.