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1 n항 관계 정의

어떤 집합 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X_1, X_2,..., X_n } 의 곱집합(Cartesian Product)은 다음과 같이 정의될 수 있다

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \prod \limits_{i=1}^{n}X_i = X_1 \times X_2 \times... \times X_n = \left\{\left(x_1,x_2,... x_n\right)|x_1\in X_1, x_2\in X_2, ..., x_n\in X_n\right\} }

"구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X_1, X_2,..., X_n } 위의 n항 관계 "란 해당 곱집합의 부분집합으로 정의된다.[1]

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle R \subset \prod \limits_{i=1}^{n}X_i}

이때 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \left(x_1, x_2,..., x_n\right)\in R} 를 보통 다음과 같이 쓴다:

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle Rx_1 x_2... x_n}

이는 일상어에서 ""구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x_1, x_2,..., x_n} 이 관계 을 맺는다"라고 말하는 것에 대응한다.

2 2항 관계 정의

집합 R의 원소 r에 대해

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r=(x,y)}

를 만족하는 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://femiwiki.com/femiwiki.com/")가 보고했습니다: "Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10044"): {\displaystyle x,y} 가 존재하면, R2항 관계(Binary relation)라고 한다. 이때 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle (x,y)\in R} 를 간단히

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle xRy}

로 나타낸다. 이때, 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle (x,y)\in R}y가 존재하는 x들의 집합을 R의 정의역(domain)이라 하고 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \operatorname{dom} R} 로 쓴다.

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \operatorname{dom} R=\{x\vert \exists y[xRy]\}}

고, 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle (x,y)\in R}x가 존재하는 y들의 집합을 R의 치역(range)이라 하고 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \operatorname{ran}R} 로 쓴다.

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \operatorname{ran} R=\{y\vert \exists x [xRy]\}}

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \operatorname{dom}R\cup\operatorname{ran}R}R의 마당(field)이라 하고 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \operatorname{field}R} 로 쓴다.

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \operatorname{dom} R = \operatorname{ran} R = X} 인 경우, 은 " 위의 2항 관계"라고 부르기도 한다.

2.1 2항 관계의 특성들

위의 2항 관계 이 띨 수 있는 대표적인 성질들은 다음과 같다:

  • 반사성(or 재귀성; reflexivity): 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x \in X: xRx}
  • 대칭성(symmetricity): 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x,y \in X: xRy \to yRx}
  • 비대칭성(asymmetricity): 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x,y \in X: xRy \to \neg yRx}
  • 반대칭성(antisymmetricity): 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x,y \in X: (xRy \wedge yRx) \to (x=y)}
  • 전이성(or 추이성, 이행성; transitivity): 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x,y,z \in X: (xRy \wedge yRz) \to (xRz)}
  • 동치관계: 이 반사성, 대칭성, 전이성을 모두 만족시키는 경우.

3

집합 A,B에 대해, AB의 곱집합

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle A\times B=\{(a,b)\vert a\in A \text{ and } b\in B\}}

는 관계다.

집합 A에 대해, 소속관계(membership relation)

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \in_A=\{(a,b)\vert a\in A, b\in A, a\in b\}}

는 잘 정의되어 있다. 그러나

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle E=\{(a,b)\vert a\in b\}}

는 잘 정의되어 있지 않다. 왜냐 하면,

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x[x\in \{x\}]}

이므로,

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x[(x,\{x\})\in E]}

이다. 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{x\}\in (x,y)} 이므로

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x\left[ \{x\}\in \bigcup E\right]}

이고 따라서

구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x\left[ x\in \bigcup\left(\bigcup E\right)\right]}

이다. 그러므로 모든 집합의 집합이 존재하게 되어 모순이 발생한다. 따라서 E는 관계가 아니다.[2]

  1. 단 "관계"는 (n+1)-중체 구문 분석 실패 (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): "/mathoid/local/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \left(X_1, X_2,..., X_n, G\right)} 로 정의하며, 은 해당 관계의 "그래프"라고 부르는 경우도 있다.
  2. Hardegree, Set Theory, Chapter 2: Relations. 2015년 6월 12일에 확인.