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그람-슈미트 정규직교화(Gram-Schmidt orthonomalization) 또는 그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)은 유한차원의 내적공간(inner product space)의 기저(basis)가 주어지면, 그 기저로부터 정규직교기저(orthonormal basis)를 만들 수 있다는 정리다.

진술

내적공간 V의 기저 $B=\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\cdots ,\mathbf {u} _{n}\}$이 주어졌다고 하자. 이때 V의 원소 $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots ,\mathbf {v} _{n}$를

${\begin{aligned}\mathbf {v} _{1}&={\frac {\mathbf {u} _{1}}{\|\mathbf {u} _{1}\|}}\\\mathbf {v} _{2}&={\frac {\mathbf {u} _{2}-(\mathbf {u} _{2},\mathbf {v} _{1})\mathbf {v} _{1}}{\|\mathbf {u} _{2}-(\mathbf {u} _{2},\mathbf {v} _{1})\mathbf {v} _{1}\|}}\\\mathbf {v} _{3}&={\frac {\mathbf {u} _{3}-(\mathbf {u} _{3},\mathbf {v} _{1})\mathbf {v} _{1}-(\mathbf {u} _{3},\mathbf {v} _{2})\mathbf {v} _{2}}{\|\mathbf {u} _{3}-(\mathbf {u} _{3},\mathbf {v} _{1})\mathbf {v} _{1}-(\mathbf {u} _{3},\mathbf {v} _{2})\mathbf {v} _{2}\|}}\\\vdots &\\\mathbf {v} _{n}&={\frac {\mathbf {u} _{n}-\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {u} _{n},\mathbf {v} _{i})\mathbf {v} _{i}}{\|\mathbf {u} _{n}-\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {u} _{n},\mathbf {v} _{i})\mathbf {v} _{i}\|}}\end{aligned}}$

로 정의하면 $N=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots ,\mathbf {v} _{n}\}$은 V의 정규직교기저이다.

예시

2차 이하의 다항식들의 내적공간 ${\mathcal {P}}_{2}$의 내적이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

$(p(x),q(x))=\int _{-1}^{1}p(x)q(x)dx$

$\{1,x,x^{2}\}$는 $P_{2}$의 기저이다. 그러나

$(1,x^{2})=\int _{-1}^{1}x^{2}dx={\frac {2}{3}}\neq 0$

이므로 정규직교기저가 아니다. 이제 그람-슈미트 과정을 적용하면

${\begin{aligned}\mathbf {v} _{1}&={\frac {1}{\|1\|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\mathbf {v} _{2}&={\frac {x-(x,{\frac {1}{\sqrt {2}}}){\frac {1}{\sqrt {2}}}}{\|x-(x,{\frac {1}{\sqrt {2}}}){\frac {1}{\sqrt {2}}}\|}}\\&={\sqrt {\frac {3}{2}}}x\\\mathbf {v} _{3}&={\frac {x^{2}-(x^{2},{\sqrt {\frac {3}{2}}}x){\sqrt {\frac {3}{2}}}x-(x^{2},{\frac {1}{\sqrt {2}}}){\frac {1}{\sqrt {2}}}}{\|x^{2}-(x^{2},{\sqrt {\frac {3}{2}}}x){\sqrt {\frac {3}{2}}}x-(x^{2},{\frac {1}{\sqrt {2}}}){\frac {1}{\sqrt {2}}}\|}}\\&={\sqrt {\frac {5}{2}}}{\frac {3}{2}}(x^{2}-{\frac {1}{3}})\end{aligned}}$

이므로 $\{{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\sqrt {\frac {3}{2}}}x,{\sqrt {\frac {5}{2}}}{\frac {3}{2}}(x^{2}-{\frac {1}{3}})\}$은 ${\mathcal {P}}_{2}$의 정규직교기저이다.

일반적으로 n-1차 이하의 다항식들의 내적공간 $P_{n-1}$의 내적이 위와 같이 주어지고 기저 $\{1,x,x^{2},\cdots ,x^{n-1}\}$이 주어졌을 때,

$\mathbf {v} _{i}={\sqrt {\frac {2i+1}{2}}}P_{i}(x)\;(1\leq i\leq n)$

이다. 이때 $P_{i}(x)$는 르장드르 다항식이다.