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그람-슈미트 정규직교화(Gram-Schmidt orthonomalization) 또는 그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)은 유한차원의 내적공간(inner product space)의 기저(basis)가 주어지면, 그 기저로부터 정규직교기저(orthonormal basis)를 만들 수 있다는 정리다.

진술

내적공간 V의 기저 $B=\{{𝐮}_1,{𝐮}_2,\cdots ,{𝐮}_n\}$이 주어졌다고 하자. 이때 V의 원소 ${𝐯}_1,{𝐯}_2,\cdots ,{𝐯}_n$를

$\begin{array}{cc}{𝐯}_1& =\frac{{𝐮}_1}{\Vert {𝐮}_1\Vert }\\ {𝐯}_2& =\frac{{𝐮}_2-({𝐮}_2,{𝐯}_1){𝐯}_1}{\Vert {𝐮}_2-({𝐮}_2,{𝐯}_1){𝐯}_1\Vert }\\ {𝐯}_3& =\frac{{𝐮}_3-({𝐮}_3,{𝐯}_1){𝐯}_1-({𝐮}_3,{𝐯}_2){𝐯}_2}{\Vert {𝐮}_3-({𝐮}_3,{𝐯}_1){𝐯}_1-({𝐮}_3,{𝐯}_2){𝐯}_2\Vert }\\ ⋮& \\ {𝐯}_n& =\frac{{𝐮}_n-\sum _{i=1}^n({𝐮}_n,{𝐯}_i){𝐯}_i}{\Vert {𝐮}_n-\sum _{i=1}^n({𝐮}_n,{𝐯}_i){𝐯}_i\Vert }\end{array}$

로 정의하면 $N=\{{𝐯}_1,{𝐯}_2,\cdots ,{𝐯}_n\}$은 V의 정규직교기저이다.

예시

2차 이하의 다항식들의 내적공간 ${𝒫}_2$의 내적이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

$(p(x),q(x))={\int }_{-1}^{1}p(x)q(x)dx$

$\{1,x,x^2\}$는 $P_2$의 기저이다. 그러나

$(1,x^2)={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=\frac{2}{3}\ne 0$

이므로 정규직교기저가 아니다. 이제 그람-슈미트 과정을 적용하면

$\begin{array}{cc}{𝐯}_1& =\frac{1}{\Vert 1\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ {𝐯}_2& =\frac{x-(x,\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}}{\Vert x-(x,\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}\Vert }\\ & =\sqrt{\frac{3}{2}}x\\ {𝐯}_3& =\frac{x^2-(x^2,\sqrt{\frac{3}{2}}x)\sqrt{\frac{3}{2}}x-(x^2,\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}}{\Vert x^2-(x^2,\sqrt{\frac{3}{2}}x)\sqrt{\frac{3}{2}}x-(x^2,\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}\Vert }\\ & =\sqrt{\frac{5}{2}}\frac{3}{2}(x^2-\frac{1}{3})\end{array}$

이므로 $\{\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{\frac{3}{2}}x,\sqrt{\frac{5}{2}}\frac{3}{2}(x^2-\frac{1}{3})\}$은 ${𝒫}_2$의 정규직교기저이다.

일반적으로 n-1차 이하의 다항식들의 내적공간 $P_{n-1}$의 내적이 위와 같이 주어지고 기저 $\{1,x,x^2,\cdots ,x^{n-1}\}$이 주어졌을 때,

${𝐯}_i=\sqrt{\frac{2i+1}{2}}{P}_i(x)(1\le i\le n)$

이다. 이때 $P_i(x)$는 르장드르 다항식이다.