페미위키:포크 프로젝트/리브레 위키/그람-슈미트 정규직교화

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그람-슈미트 정규직교화(Gram-Schmidt orthonomalization) 또는 그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)은 유한차원의 내적공간(inner product space)의 기저(basis)가 주어지면, 그 기저로부터 정규직교기저(orthonormal basis)를 만들 수 있다는 정리다.

1 진술

내적공간 V기저 이 주어졌다고 하자. 이때 V의 원소

로 정의하면 V의 정규직교기저이다.

2 예시

2차 이하의 다항식들의 내적공간 의 내적이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

의 기저이다. 그러나

이므로 정규직교기저가 아니다. 이제 그람-슈미트 과정을 적용하면

이므로 의 정규직교기저이다.

일반적으로 n-1차 이하의 다항식들의 내적공간 의 내적이 위와 같이 주어지고 기저 이 주어졌을 때,

이다. 이때 르장드르 다항식이다.